40

Лабораторная работа № 4

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ

МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы:

1. Изучить закон движения тела в вязкой среде.

2. Определить коэффициент вязкости жидкости методом Стокса.

Теоретическое введение

В

язкость, или внутреннее трение, - это свойство всех текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость тепловым движением и взаимодействием молекул.

Два соприкасающихся элемента жидкости (газа), двигающиеся в одном направлении, но с разными скоростями, воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно движущийся слой и замедляет более быстрый. Эта сила называется силой внутреннего трения.

Рассмотрим жидкость, движущуюся в направлении оси Ox (рисунок 1). Пусть слои жидкости движутся с разными скоростями. На оси Oz возьмем две точки, находящиеся на расстоянии dz. Скорости потока отличаются в этих точках на величину dυ. Отношение называется градиентом скорости – векторная величина, численно равная изменению скорости на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости, и направленная в сторону возрастания скорости.

Сила внутреннего трения (вязкости), действующая между двумя слоями жидкости, пропорциональна площади соприкасающихся слоев ΔS и модулю градиента скорости:

ΔS (1)

Эта формула определяет закон вязкого трения, установленный Ньютоном. Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Иногда коэффициент вязкости η, определяемый формулой (1), называют коэффициентом динамической вязкости в отличие от коэффициента кинематической вязкости, равного отношению η/ρ, где ρ - плотность жидкости. Физический смысл коэффициента вязкости η заключается в том, что он численно равен силе внутреннего трения, возникающей на единице площади соприкасающихся слоев жидкости при градиенте скорости между ними, равном по модулю единице. Как следует из формулы (1), в системе СИ коэффициент вязкости η измеряется в Н·с/м²=Па·с (паскаль-секунда).

Значения коэффициента вязкости для различных жидкостей и газов приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Вязкость некоторых веществ

Жидкости (при 18о C)		Газы (при н.у.)
Вещество	η·102 Па∙с	Вещество	η·105 Па∙с
Ацетон	0,0337	Азот	1,67
Бензол	0,0673	Водород	0,84
Вода	0,105	Воздух (своб. от СО2)	1,72
Глицерин	149,5	Гелий	1,89
Касторовое масло	120,0	Кислород	1,92
Ртуть	0,159	Углекислый газ	1,40

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен. Для газов с ростом температуры коэффициент вязкости возрастает, а для жидкостей, наоборот, уменьшается, что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения.

В газах расстояния между молекулами существенно больше радиуса действия молекулярных сил, поэтому вязкость газов – следствие хаотического (теплового) движения молекул, в результате которого происходит постоянный обмен молекулами между движущимися друг относительно друга слоями газа. Это приводит к переносу от слоя к слою определенного импульса упорядоченного движения, в результате чего медленные слои ускоряются, а более быстрые – замедляются.

В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена в первую очередь межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул.

Кроме того, вязкость различных растворов зависит от концентрации вещества в растворе. В таблице 2 приведены значения вязкости водных растворов глицерина при различных температурах.

Таблица 2 – Вязкость водных растворов глицерина

% воды	η, Па∙с			ρ, кг/м3
0	1,495	0,942	0,622	1,262
1	1,194	0,772	0,509	1,259
2	0,971	0,627	0,423	1,257
3	0,802	0,522	0,353	1,254
4	0,659	0,434	0,296	1,252
5	0,543	0,365	0,248	1,249
20	0,062	0,046	0,035	1,209

Описание метода измерений

Рассмотрим падение твердого тела в форме шарика в вязкой жидкости (рисунок 2). При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется вместе с ним. Ближайшие смежные слои жидкости также приводятся в движение, но их скорость тем меньше, чем дальше они находятся от шарика. Таким образом, возникает градиент скорости и на шарик действует сила сопротивления движению.

В случае движения шарика в неограниченной жидкости сила сопротивления определяется формулой Стокса:

, (2)

где υ – скорость движения шарика, r – его радиус.

Кроме силы сопротивления на шарик, движущийся в жидкости, действуют сила тяжести

= (3)

и выталкивающая (архимедова) сила

= . (4)

Здесь m – масса шарика, V – его объем, ρ – плотность материала шарика, V_ж – объем вытесненной шариком жидкости (V_ж = V), ρ_ж - плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

С учетом действия на шарик этих сил второй закон Ньютона (уравнение движения) в общем виде запишется следующим образом:

. (5)

Все три силы, входящие в правую часть уравнения (5), будут направлены по вертикали: сила тяжести – вниз, выталкивающая (архимедова) сила и сила сопротивления – вверх.

В проекции на ось Ox, направленную вдоль движения шарика, уравнение (5) имеет вид:

(6)

Сила сопротивления с увеличением скорости движения шарика возрастает. При некоторой скорости шарика υ₀ сила сопротивления вместе с выталкивающей силой уравновешивают силу тяжести, то есть . Таким образом, равнодействующая этих сил обращается в нуль. Это означает, что уравнение (6) принимает вид

Таким образом, по достижении шариком скорости υ₀ далее он движется с постоянной скоростью и уравнение (6) принимает следующий вид:

(7)

Решая уравнение (7) относительно коэффициента внутреннего трения, получаем

(8)

где d = 2r – диаметр шарика.

Измерив скорость установившегося движения шарика ( , где - длина пути, проходимого шариком при установившемся движении, t – время его движения), диаметр шарика d, а также определив плотности ρ и ρ_ж, можно вычислить значение коэффициента вязкости для данной жидкости по формуле (8).

Формула (8) верна при движении шарика в неограниченной жидкости. В экспериментальной установке шарик движется в жидкости, ограниченной стенками цилиндра радиуса R. В этом случае в формулу вводится поправочный коэффициент и она принимает вид:

(9)

Описанный выше метод измерения вязкости жидкости называется методом Стокса. В промышленности коэффициент вязкости определяют также по методу Пуазейля, вискозиметром, косвенно – по времени истечения жидкости при определенной температуре и заданном диаметре отверстия.

Экспериментальная установка для определения коэффициента вязкости методом Стокса (рисунок 3) включает в себя высокие стеклянные цилиндрические сосуды с метками, наполненные исследуемыми жидкостями (глицерином), набор металлических шариков, микрометр и секундомер.