3. Пример расчета фермы

Задание.Для фермы показанной на рисунке требуется:

а) определить аналитически усилия в стержнях заданной панели, включая правую стойку;

б) построить линии влияния усилий в тех же стержнях;

в) по линиям влияния подсчитать значения усилий от заданной нагрузки и сравнить их со значениями, полученными аналитически.

3.1. Исходные данные для расчета фермы.

ℓ = 24 м; P= 2 кН; № панели 2;h= 6 м.

d = ℓ/6 = 24 / 6 = 4 м

Рисунок 7 Заданная ферма

3.1.1 Определение реакций: R_A = R_B = 2,5·P = 2,5·2 = 5 кН.

3.1.2 Определение усилий в стержнях 2-й панели

Сечение 1-1

Рисунок 8 Определение усилий в стержнях 2-й панели

Усилие в стержне U₂:

Σ= 0;R_A ·d – U₂·h_U=0;

U₂ = R_A ·d /h_U= 5· 4 / 4,5 = 4,444 кН

Усилие в стержне O₂:

tg α = h / 4d = 6 / 4 · 4 = 0,375; => α = 20,56°; => Sin α = 0,351

h_O = 4·d · Sin α = 4·4·0,351 = 5,616 м

Σ= 0; R_A ·2·d – P·d + O₂ ·h_O =0;

O₂ = (P·d - R_A ·2·d) /h_O= (2·4 - 5·2·4 )/ 5,616 =-5,698 кН

Усилие в стержне D₂:

tg β = h_U / d = 4,5 / 4 = 1,125; => β = 48,37°; => Sin β = 0,747

h_D = 4·d · Sin β = 4·4·0,747 = 11,952 м

Σ= 0; -R_A ·2·d + P·3·d + D₂ ·h_D =0;

D₂ = (R_A ·2·d - P·3·d) / h_D = (5·2·4 - 2·3·4)/ 11,952 = 1,339 кН

Сечение 2-2

Рисунок 9 Определение усилий в стойке V₂

Усилие в стержне V₂:

Σ= 0; -R_A ·2·d + P·3·d - V₂·4·d =0;

V₂ = (P·3·d - R_A ·2·d) /4·d= (2·3·4 - 5·2·4)/ 4·4 = -1,0 кН

Дополнительно покажем: определение усилия D₃ методом проекций (т.к. моментная точка находится в бесконечности).

3.1.3 Определение усилия в раскосе 3-й панели D₃

tg γ = h / d = 6 / 4 = 1,5; => γ = 56,31°; => Sin γ = 0,832

ΣY = 0; R_A - P – P - D₃ · Sin γ =0;

D₃ = (R_A - 2·P) / Sin γ = (5-2·2)/ 0,832 = 1,202 кН

Сечение 3-3

Рисунок 10 Определение усилия в стержне 3-й панели (D₃)

А также: покажем определение усилия V₃ методом вырезания узлов

3.1.4 Определение усилия в стойке V₃

Сечение 4-4

Рисунок 11 Определение усилия в стойке V₃

ΣY= 0

V₃= -P= -2 кН

3.2. Построение линий влияния усилий в стержнях фермы

Рисунок 12 Построение линий влияния усилий в стержнях фермы

Сечение 1-1

Построение л.в.

Груз слева Груз справа

Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть

Σ= 0 Σ= 0

- ·5·d + · h_u =0 ·d - · h_u =0

=·5·d /h_u=·5·4 /4,5= =·d /h_u=·4 /4,5=

=4,444· =0,889·

л.в.=4,444·л.в.л.в.=0,889·л.в.

Построение л.в.

Груз слева Груз справа

Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть

Σ= 0 Σ= 0

- ·4·d -· h_o =0 ·2·d +· h_o =0

=-·4·d /h_o=-·4·4 /5,616= =-·2·d /h_o=-·2·4 /5,616==-2,849·=-1,425·

л.в. =-2,849·л.в.л.в. =-1,425·л.в.

Построение л.в.

Груз слева Груз справа

Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть

Σ= 0 Σ= 0

- ·8·d - · h_D =0 -·2·d + · h_D =0

=-·8·d /h_D=-·8·4 /11,952= =2·d /h_D=·2·4 /11,952=

=-2,677·=0,669·

л.в. =-2,677·л.в.л.в. =0,669·л.в.

Сечение 2-2

Построение л.в.

Груз слева Груз справа

Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть

Σ= 0 Σ= 0

- ·8·d + ·4·d =0 -·2·d -·4·d =0

=·8·d / 4·d =·2=2· =-·2·d /4·d =-0,5·

л.в. = 2 ·л.в.л.в. = -0,5·л.в.

Сечение 3-3

Построение л.в.

Груз слева Груз справа

Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть

ΣY= 0 ΣY= 0

+ · h_D =0 -·Sin γ =0

=-/ Sin γ =-/0,832= =/ Sin γ =/0,832=

=-1,202·=1,202·

л.в. =-1,202·л.в.л.в. = 1,202·л.в.

Вырезаем узел. (Сечение 4-4)

Построение л.в.

Груз в узле Груза нет в узле

ΣY= 0 ΣY= 0

= -= -1= 0

3.3 Определение усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки по линиям влияния

Y = ΣP_i·

U₂ = 0,741·P+0,593·P +0,445·P +0,296·P +0,148·P = (0,741 +0,593 +

+0,445 +0,296 +0,148) ·P = 2,223·P = 2,223·2 = 4,446 кН, что практически равно подсчитанному аналитически U₂ = 4,444 кН.

O₂ = -0,475·P-0,950·P-0,712·P-0,475·P-0,237·P = -(0,475 + 0,950 +

+ 0,712 + 0,475 + 0,237) ·P= - 2,849· 2 = -5,698 кН, что равно подсчитанному аналитически O₂ = -5,698 кН.

D₂ = (0,446·P-0,446·P+ 0,335·P+ 0,223·P+ 0,112·P) = (0,446 - 0,446 +

+ 0,335 + 0,223 + 0,112) ·P = 0,670·P = 0,670·2 = 1,34 кН, что практически равно подсчитанному аналитически D₂ = 1,339 кН

V₂ = (0,333·P- 0,333·P- 0,25·P- 0,167·P- 0,083·P) =(0,333 - 0,333 –

- 0,25 - 0,167 - 0,083) ·P = - 0,5·P = - 0,5·2 = 1,0 кН, что равно подсчитанному аналитически V₂ = -1,0 кН.

D₃ = (-0,200·P- 0,401·P+ 0,601·P+ 0,401·P+ 0,200·P) = (-0,200 –

- 0,401 + 0,601 + 0,401 + 0,200) ·P = 0,601·P = 0,601·2 = 1,202 кН, что равно подсчитанному аналитически D₃ = 1,202 кН

V₃ = -1·P= - 2 кН, что равно подсчитанному аналитически V₃ = - 2 кН