Задача №1

Определить вероятность безотказной работы системы с последовательным со­единением элементов, распределение ресурсов которых подчиняется одному из трёх законов: нормальному, экспоненциальному или Вейбулла. Построить график функ­ции Pi (t) для каждого элемента и для системы Рсис (t).

Перед выполнением задачи необходимо изучить следую­щие темы:

- понятие сложной системы, элементы системы, методы построения структурных схем [2, 3];

- показатели надёжности, методика определения, основные соотношения [1, 2, 3];

- случайные величины и их характеристики, законы распределения случайных величин [2, 3].

По варианту студента определяется формула структурной схемы системы (таблица 2), содержащая номера элементов. Исходные данные для расчета надежности элементов приведены в таблице 3.

Таблица 2 – Формулы структурных схем системы

Варианты Задания	Формулы структурных схем	Варианты Задания	Формулы структурных схем
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	1-6-16-23-30 2-12-15-29-40 3-13-37-11-22 4-9-15-20-36 5-7-17-38-33 8-15-24-26-31 10-18-19-33-27 13-21-28-34-38 25-13-7-15-29 12-11-33-15-28 17-26-30-14-38 15-29-3-6-14 29-26-2-16-33	14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	14-20-12-33-37 40-21-38-29-6 9-18-15-17-10 31-9-23-31-8 36-26-11-21-2 7-24-12-25-17 26-1-14-5-37 20-40-8-16-27 30-13-26-15-7 24-12-4-33-18 11-29-12-33-30 9-7-15-20-33 6-16-26-36-6

Таблица 3 - Исходные данные для расчёта надёжности

№ элемента	Закон распределения	Тр	S	a	b
1	Э	800	-	-	-
2	Н	1200	400	-	-
3	В	-	-	700	2,5
4	Э	400	-	-	-
5	В	-	-	500	1,5
6	Н	1000	350	-	-
7	Н	2000	400	-	-
8	Э	1100	-	-	-
9	В	-	-	680	2,0
10	Э	700	-	-	-
11	Н	1200	300	-	-
12	В	-	-	300	1,5
13	Э	440	-	-	-
14	Э	500	-	-	-
15	Н	600	200	-	-
16	В	-	-	550	1,5
17	Э	750	-	-	-
18	Н	1400	350	-	-
19	В	-	-	1000	3,0
20	Н	1500	440	-	-
21	В	-	-	800	2,0
22	Э	600	-	-	-
23	Э	850	-	-	-
24	Н	1800	200	-	-
25	В	-	-	780	1,8
26	В	-	-	640	2,0
27	Н	1700	400	-	-
28	Э	900	-	-	-
29	Э	650	-	-	-
30	Н	900	200	-	-
31	Н	1100	2500	-	-
32	В	-	-	550	2,0
33	Э	950	-	-	-
34	Н	800	240	-	-
35	В	-	-	750	1,7
36	Э	1000	-	-	-
37	Н	2200	350	-	-
38	Н	2000	300	-	-
39	В	-	-	400	1,6
40	Э	540	-	-	-
Примечание: Tp - средний ресурс, S - среднее квадратическое отклонение, а - параметр масштаба, b - параметр формы, Э - экспоненциальный закон распределения, Н - нормальный закон распределения, В - закон Вейбулла.

Вероятность безотказной работы группы элементов с последовательным соединением элементов:

Вероятность безотказной работы i элемента определяется одним из трёх законов распределения: экспоненциальным, нормальным, Вейбулла.

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных от­казов элементов. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением некоторых обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность  во времени t:

где Т_р - средний ресурс.

Вероятность безотказной работы:

Нормальный закон распределения достаточно хорошо описывает распределение ресурсов элементов при постепенных (износовых) от­казах. Плотность вероятности нормального распределения описыва­ется уравнением:

Вероятность безотказной работы Р(t) для нормального закона распределения определяется из выражения:

где Ф - функция Лапласа;

U_p - квантиль нормального распределения.

По квантилю при помощи таблицы 8 (приложение А) находят вероятность безотказной работы. При значениях Up>0 используют выражение

Распределение Вейбулла довольно универсально и охватывает путём варьирования параметров масштаба А и формы В широкий диапазон случаев распределения ресурсов элементов. Вероятность безотказной работы при распределении Вейбулла

С достаточной для практических расчётов точностью можно считать, что В находится в диапазоне от 1 до 3, а параметр А определяется из соотношения:

Выполнять расчёт надёжности сложной системы необходимо в следующей последовательности:

1) В соответствии с индивидуальным заданием определяют исходные данные для расчёта, законы распределения и параметры законов. Для этого заполняют таблицу 4.

Таблица 4.

№ элемента	Законы распределения			Параметры законов распределения
	Экспоненциальный	Нормальный	Вейбулла	Тр	S	А		В

2) Задаются периодом времени t, на котором рассматривается надёжность системы (как правило, по наименьшему значению Тр или А). Принимают временной интервал  (шаг) приблизительно t/10 для получения не менее 10 значений Pi(t).

3) Рассчитывают вероятность безотказной работы по каждому элементу в функции времени Pi(t) с шагом . Для этого используют формулы для различных законов распределения.

4) Рассчитывают вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением как произведение вероятностей элементов для каждого временного интервала. Результаты расчёта сводят в таблицу 5.

Таблица 5

Наработка t, час	Вероятность безотказной работы
	Элементов Pi(t)					Системы Рсис(t)
	i1	i2	i3	i4	i5
0 t1 t2 … tmax

5) Графически построить функции Pi(t) для каждого элемента и для системы в целом Рсис(t).