Примем следующие исходные данные: длина и ширина пластины a = 800мм, b = 500мм,

толщина

пластины h = 3мм, приложенная распределённая нагрузка P =1

Н

.

Характеристики материала: E = 2 ×1011

м2

Па, ν = 0.25.

Аналитическое решение этой задачи имеет вид [2]:

σ

= K

π2 D

,

кр

b2h

где D =

Eh3

– цилиндрическая жесткость пластины, E – модуль упругости, K - коэффициент,

12(1−ν 2 )

значение которого зависит от способа закрепления краёв пластинки и отношения

a

(в данном случае

K =1.33 ).

b

π2 D

7

Н

Таким образом,

σкр = K

2

= 0.8401×10

.

h

м

2

b

Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получили следующие результаты:

Таблица 1.

Параметры конечно-элементных сеток

Номер

Тип конечных элементов

Число узлов

Число конечных

сетки

элементов

1

линейный треугольник (6 узлов)

2105

4040

2

квадратичный треугольник(6 узлов)

2105

4040

3

квадратичный тетраэдр (10 узлов)

4450

12833

Таблица 2.

Результат «Критическая нагрузка»

Номер

Численное решение

Н

Аналитическое решение

Н

Ошибка

δ =

σ

кр − q

×100%

Критическая нагрузка q ,

Критическая нагрузка σ

кр ,

сетки

σкр

м

2

м

2

0.37

1

0.8370E+007

0.8401E+007

0.12

2

0.8391E+007

0.8401E+007

0.15

3

0.8388E+007

0.8401E+007

Примеры задач частотного анализа

Определение собственных частот колебаний балки

Имеется консольно-защемленная балка длиной L

h

с прямоугольным поперечным сечением шириной

b и высотой h.

L

b

Форма колебаний

Решение в T-FLEX, Гц

Аналитическое решение, Гц

Погрешность, %

67.3

67.0

0.4

419.1

420.2

0.3

1161.4

1176.7

1.3

Для круглой пластины радиуса R и толщины h, защемленной по

контуру, необходимо определить собственную частоту первой

формы колебаний.

R

h

Примем радиус пластины равным R=0.2 м, толщину пластины

h=0.01 м. Свойства материала: модуль упругости E = 2.1 1011 Па,

коэффициент Пуассона ν = 0.28 , плотность ρ = 7800 кг

м

3 .

f

=

10.21

D

= 633.9 Гц,

2πR2

ρ h

где R – радиус пластины, ρ – плотность материала, h – толщина пластины, D =

E h3

– изгибная

12

(1−ν 2 )

Таблица 1.

Параметры конечно-элементных сеток

Номер

Тип конечных элементов

Число узлов

Число конечных

сетки

элементов

1

линейный треугольник (6 узлов)

1865

3580

2

квадратичный треугольник(6 узлов)

1865

3580

3

квадратичный тетраэдр (10 узлов)

3938

11549

Таблица 2.

Результат «Собственные частоты»

f1 −

λ1

Номер

Численное решение

Аналитическое решение

Ошибка δ

=

×100%

сетки

Собственная частота λ1 , Гц

Собственная частота f1 , Гц

f1

0.26

1

632.2

633.9

0.51

2

630.6

633.9

0.34

3

631.7

633.9

Решение этой задачи имеет вид [4]:

ki ω0

fi

=

,

2π

где

ω0 =

E

,

ρR2 (1−ν 2 )

Таким образом, f1 =1564.7 Гц, f2 = 2115.3 Гц,

f3 = 2455.4 Гц,

f4 = 2465.4 Гц ,

f5 = 2590.4 Гц.

Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получили следующие результаты:

Таблица 1.

Параметры конечно-элементных сеток

Номер

Тип конечных элементов

Число узлов

Число конечных

сетки

элементов

1

линейный треугольник (6 узлов)

2840

5510

2

квадратичный треугольник(6 узлов)

2840

5510

3

квадратичный тетраэдр (10 узлов)

5507

16387

Таблица 2.

Результат «Собственные частоты». Сетка №1

Номер

Численное решение

Аналитическое решение

Ошибка δ

=

fi

−

λi

×100%

собственной

Собственная частота λi

, Гц

Собственная частота

fi , Гц

f

частоты i

i

1

1574.1

1564.7

0.59

2

2107.0

2115.3

0.39

3

2469.9

2455.4

0.59

4

2490.3

2465.4

1.01

5

2592.9

2590.4

0.10

Таблица 3.

Результат «Собственные частоты». Сетка №2

Номер

Численное решение

Аналитическое решение

Ошибка δ

=

fi

−λi

×100%

собственной

Собственная частота λi

, Гц

Собственная частота

fi , Гц

f

частоты i

i

1

1573.8

1564.7

0.58

2

2105.4

2115.3

0.47

3

2466.7

2455.4

0.46

4

2488.5

2465.4

0.94

5

2586.7

2590.4

0.14