Руководство пользователя T-FLEX Анализ
Примеры расчётов задач устойчивости
Расчет устойчивости сжатого прямого стержня
Рассмотрим задачу устойчивости центрально сжатого прямого стержня (задача Эйлера). Прямой стержень, длина которого равна l, ширина и высота поперечного сечения – b и h соответственно, закреплен одним концом, а на другой действует сжимающая нагрузка величиной P. Необходимо найти коэффициент нагрузки, при котором стержень теряет устойчивость.
Примем длину стержня равной 0.5 м, характеристики поперечного сечения b=0.05 м, h=0.02 м.
Характеристики материала оставим заданными по умолчанию: модуль упругости E = 2.1E+011 Па, коэффициент Пуассона v = 0.28.
P
h
L
b
Граничные условия определим следующим образом. Нижнюю грань полностью закрепляем, а на верхнюю прикладываем распределенную силу величиной 1 Н.
Конечно-элементная модель балки для задачи устойчивости стержня
Для данной задачи известно аналитическое решение [2, с.14]. Критическая нагрузка вычисляется по формуле:
Pкр = π(μ2 EJl)2 = 6.9087×104 Н ,
где Е – модуль упругости, J – момент инерции, l – длина стержня, μ – коэффициент длины, зависящий от устройства опор и способа нагружения стержня. В данном случае μ=2.
Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получаем следующие результаты.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Параметры конечно-элементных сеток |
||||||||||
Тип конечных элементов |
|
|
Число узлов |
|
|
|
Число конечных элементов |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
квадратичный тетраэдр (10 узлов) |
|
839 |
|
|
|
|
2183 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат «Критическая нагрузка» |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численное решение |
Н |
|
Аналитическое решение |
Н |
|
Ошибка δ = |
|
pkp −σkp |
|
|
×100% |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Критическая нагрузка σ кр, |
Критическая нагрузка p кр, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
pkp |
|
|
|
|||||||||||
м |
2 |
|
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.9341E+004 |
|
|
|
|
|
6.9087E+004 |
|
|
|
|
0.37 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194
Верификационные примеры
Первая форма потери устойчивости стержня
Устойчивость квадратной пластины
Рассмотрим квадратную пластинку со стороной a и толщиной h (см. рис.).
Толщина пластины h существенно меньше длины её стороны a . Пластина равномерно сжата в поперечном направлении.
Рассмотрим случай, когда нагруженные края пластины закреплены шарнирно; ненагруженные края защемлены.
Примем следующие исходные данные: длина стороны пластины a = 500мм, толщина пластины h = 3мм, приложенная распределённая нагрузка P =1 мН2 .
Характеристики материала: E = 2.1×1011 Па, ν = 0.28. Аналитическое решение этой задачи имеет вид [2]:
σкр = K π2 D ,
a2h
195
Руководство пользователя T-FLEX Анализ
|
|
Eh3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где D = |
|
|
– цилиндрическая жесткость пластины, E – модуль упругости, K - коэффициент, |
|||||||||||||||||||||||||
12(1−ν 2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||
значение которого зависит от способа закрепления краёв пластинки (в данном случае K = 7.69 ). |
||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, σкр = K |
π2 D |
|
|
|
|
8 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
= 0.5188 |
×10 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
h |
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получаем следующие результаты: |
|
|
|
Таблица 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры конечно-элементных сеток |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер |
|
|
Тип конечных элементов |
|
|
|
Число узлов |
|
|
|
|
Число конечных |
||||||||||||||||
сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
линейный треугольник (6 узлов) |
2238 |
|
|
|
|
|
4306 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
квадратичный треугольник(6 узлов) |
2238 |
|
|
|
|
|
4306 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
квадратичный тетраэдр (10 узлов) |
4594 |
|
|
|
|
|
13345 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат «Критическая нагрузка» |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Номер |
|
|
Численное решение |
Н |
|
|
|
Аналитическое решение |
Н |
|
Ошибка δ = |
|
σкр − q |
|
×100% |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Критическая нагрузка q , |
|
Критическая нагрузка σкр , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
сетки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σкр |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
м |
2 |
|
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
0.5260E+008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5188E+008 |
|
|
|
1.39 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
0.5281E+008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5188E+008 |
|
|
|
1.80 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
0.5277E+008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5188E+008 |
|
|
|
1.72 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Устойчивость прямоугольной пластины
Рассмотрим прямоугольную пластинку со сторонами a , b и толщиной h (см. рис.).
Толщина пластины h существенно меньше других её размеров a и b . Пластина равномерно сжата в поперечном направлении.
Рассмотрим случай, когда нагруженные края пластины закреплены шарнирно; один из ненагруженных краёв защемлён, а второй край свободен.
196