Руководство пользователя T-FLEX Анализ

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Анализ вынужденных колебаний проводится для предсказания поведения конструкции под действием внешних воздействий, изменяющихся по гармоническому закону. Внешние воздействия включают в себя силовое и/или кинематическое возбуждение. Кроме того, может учитываться влияние демпфирования системы.

Целью анализа вынужденных колебаний является получение зависимости отклика системы от частоты вынуждающих воздействий. Результатами расчета являются амплитуды перемещений, виброускорения и виброперегрузки на заданной вынуждающей частоте. По результатам расчета для диапазона частот могут быть получены зависимости амплитуд и виброускорений от частоты вынуждающих воздействий, что важно при оценке виброустойчивости системы в заданном диапазоне частот.

Вводные сведения

Модуль «Вынужденные колебания» системы конечно-элементного моделирования T-FLEX Анализ может использоваться для анализа установившихся вынужденных колебаний следующих типов:

•Вынужденные колебания системы без учета демпфирования под действием гармонической вынуждающей силы. Эти колебания для системы со многими степенями свободы описываются следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

[M ]{U&&}+[K ]{U}={F0 cos(ωt +ϕ)},

где:

M - симметричная квадратная матрица массы,

K - симметричная квадратная матрица жесткости системы, F0 - вектор амплитуд вынуждающего воздействия,

ω - частота вынуждающего воздействия,

U ,U&& - векторы координат точек системы, изменяющих свои положения во времени t и их ускорений,

φ- начальная фаза возбудителя.

•Вынужденные колебания системы с учетом демпфирования под действием гармонической вынуждающей силы. Эти колебания описываются следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

[M ]{U&&}+[C]{U&}+[K ]{U}={F0 cos(ωt +ϕ)},

где:

С – симметричная квадратная матрица демпфирования,

U& - вектор скорости точек системы. В системе принято демпфирование по Рэлею, т.е. оно является пропорциональным и определяется выражением [C]= a[M ]+b[K ], где a –

132

Вынужденные колебания

коэффициент пропорциональности масс; b – коэффициент пропорциональности жесткости (оба коэффициента скаляры).

•Вынужденные колебания системы обоих указанных типов, возникающие от движения оснований по гармоническому закону, т.е. приведения в колебательные движения одной или нескольких опор системы. Дифференциальные уравнения, описывающие этот тип колебаний

аналогичны приведенным выше и отличаются тем, что гармоническая вынуждающая сила в правой части уравнений вычисляется по формуле: (k / m)xосн cos(ωt +ϕ).

На систему может быть приложено несколько вынуждающих сил и/или перемещений опор, но при этом их частоты должны быть равны.

Примером гармонической вынуждающей силы может служить вращение вала или шпинделя, имеющего дисбаланс, на упругих опорах. Кинематическое возбуждение применяется в тех случаях, когда не известны величины вынуждающих сил, но известны амплитуды колебаний некоторых элементов конструкции.

При рассмотрении вынужденных колебаний важно учитывать влияние демпфирующих сил. Демпфированием называется процесс рассеяния энергии механических колебаний, приводящий к постепенному затуханию однократно вызванных колебаний системы. Демпфирующие силы могут иметь различное происхождение: трение между сухими поверхностями скольжения, трение между смазанными поверхностями, внутреннее трение, сопротивление воздуха или жидкости и т.д. Обычно предполагается, что демпфирующая сила пропорциональна скорости (вязкое демпфирование). Силы сопротивления, имеющие произвольный закон изменения, заменяют эквивалентными демпфирующими силами из условия, что за один цикл они рассеивают столько же энергии, что и реальные силы. Уравнение вынужденных колебаний с учетом демпфирования для i–й массы, являющееся решением дифференциальных уравнений, приведенных выше записывается:

ui = e−nt (C1 cosωдt +C2 sinωдt)+С3 cosωвt +С4 sinωвt ,

где ωд – круговая частота демпфирования; ωв – круговая частота вынуждающей силы;

2n=c/m, где сi – коэффициент демпфирования по i–й моде, mi – масса.

Оно состоит из двух частей: выражение в скобках описывает затухающие свободные колебания с частотой демпфирования, немного отличающейся от частоты свободных колебаний; оставшаяся часть это незатухающие вынужденные колебания с частотой вынуждающего воздействия ωв.

Для того чтобы пояснить влияние демпфирования, рассмотрим рисунок, на котором изображен график зависимости коэффициента усиления амплитуд β =1/ (1−ωв2 / ω2 )+ (2γωв / ω )2 от

отношения частот вынужденных и свободных колебаний ωвын/ω при различных значениях коэффициента демпфирования γ = n /ωв = c / cкр , где cкр – критический коэффициент вязкого

демпфирования, при котором колебания не возникают, а движение системы монотонно затухает. Из рисунка видно, что когда частота вынужденных колебаний мала по сравнению с собственной частотой свободных колебаний, перемещение точек системы приблизительно равно перемещению

133

Руководство пользователя T-FLEX Анализ

при статическом нагружении вынуждающей силой. Когда вынуждающая гармоническая сила имеет высокую частоту, то независимо от коэффициента демпфирования, она не вызывает вынужденных

колебаний системы, имеющей низкую собственную частоту. В обоих случаях ωв <<ω и ωв >>ω

демпфирование практически не оказывает влияния на вынужденные колебания, но когда отношение указанных частот близко к единице, тогда демпфирование оказывает существенное влияние на коэффициент усиления. При малом коэффициенте демпфирования наибольшее влияние демпфирования наблюдается вблизи резонансных частот, что очень важно учитывать при анализе конструкций. Для анализа вынужденных колебаний конструкции вблизи собственных частот предусмотрен импорт значений собственных частот из результатов расчета частотного анализа (см. ниже).

Коэффициент демпфирования γ j для j–й моды связан с коэффициентами пропорциональности a, b

выражением γ j = (a +bω2j ) / 2ωj . Величина коэффициента демпфирования γ принимает значения

от 0,01 для слабо демпфированных систем (цельнометаллические детали); 0,02-0,04 (металлические конструкции с неразъемными соединениями, деформированные ниже предела текучести); 0,03-0,07 (металлические конструкции с разъемными соединениями); 0,05 для резины; до 0,15 для сильно демпфированных систем.

Если известны коэффициенты демпфирования для i–й и j–й мод, то коэффициенты

Если коэффициент a равен нулю, то такое демпфирование называется относительным, а коэффициент демпфирования по j–й моде пропорционален круговой частоте этой моды без демпфирования. Поэтому колебания, соответствующие высшим модам будут быстрее затухать. Если коэффициент b равен нулю, то такое демпфирование называется абсолютным, а коэффициент демпфирования по j–й моде обратно пропорционален круговой частоте этой моды без демпфирования. Поэтому колебания, соответствующие низшим модам будут быстрее затухать.

Результатами расчета в модуле вынужденных колебаний являются следующие величины:

•Амплитуды перемещения в узлах конечно-элементной сетки Um.

•Виброускорения в узлах конечно-элементной сетки, выражающиеся через амплитуды Um как

U&&m =Umωвын2 .

•Виброперегрузки, определяемые как отношение виброускорения к ускорению свободного падения U&&m / g .

Особенности этапов анализа вынужденных колебаний

Анализ вынужденных колебаний осуществляется в несколько этапов. Последовательность действий пользователя по подготовке задачи и выполнению данного типа анализа во многом схожа с алгоритмом, описанным для Статического анализа. Поэтому в данной главе отметим только некоторые особенности, характерные для расчета вынужденных колебаний:

1.Создание «Задачи». При создании задачи нужно указать ее тип – «Вынужденные колебания» в окне свойств команды.

2.Наложение граничных условий. В анализе вынужденных колебаний, как и в статическом анализе, роль граничных условий выполняют закрепления и нагрузки. В данном типе анализа

134

Вынужденные колебания

могут использоваться все типы закреплений и все виды силовых нагрузок. Задание закреплений и силовых нагрузок является обязательным условием выполнения корректного расчёта. Суммарно наложенные на перемещение тела ограничения должны удовлетворять следующему условию:

Для обеспечения статического анализа модель должна иметь закрепление, исключающее её свободное перемещение в пространстве как твёрдого тела. Невыполнение этого условия приведёт к неверным результатам конечно-элементного моделирования или срыву вычислительного процесса. Кроме того, кинематическая нагрузка «осциллятор» может заменять частичные или полные закрепления.

3. Выполнение расчёта. Перед выполнением расчёта пользователь указывает в свойствах задачи значения частот воздействия нагрузок, для которых будет выполняться анализ вынужденных колебаний, а также величину демпфирования.

4. Получение и анализ результатов. Результатами анализа вынужденных колебаний являются: амплитуды перемещений, виброускорения или виброперегрузки, фазы колебаний. Существует возможность просмотра деформированного состояния конструкции в различных фазах.

Настройки препроцессора анализа вынужденных колебаний

1.Задание ограничений. Модель может быть ограничена как полными, так частичными ограничениями. При задании частичных ограничений не допускается задание перемещений, отличных от нулевых значений.

2.Задание силовых нагрузок. Для задания амплитуды силовых нагрузок можно приложить к граням, ребрам или вершинам модели (ускорение может быть приложено и к телам) следующие типы нагрузок:

•Сила,

•Давление,

•Ускорение,

•Цилиндрическая нагрузка,

•Момент.

На систему тел могут действовать одновременно несколько нагрузок, но все они будут иметь одинаковую частоту. Для всех типов разрешенных нагрузок может задаваться начальная фаза колебаний.

3. Задание кинематических нагрузок (осциллятор).

Для задания амплитуды колебания основания необходимо приложить к элементам модели нагрузку осциллятор, которая может быть применена вместо полного или частичного закрепления. Нагрузка прикладывается к граням, ребрам, вершинам тел, а также может прикладываться к отдельным телам сборочной модели. Для указания направления колебаний в команде выбирается ЛСК, а само направление указывается установкой галочки, соответствующей оси ЛСК.

Тип кинематической нагрузки выбирается из выпадающего списка и может быть следующим:

•Амплитуда перемещений точек,

•Скорость,

135