Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Метод. указания к РГР

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
1.47 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Брянский государственный технический университет»

МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

И

ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

Брянск 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Программой курса «Механика материалов и основы конструирования» (ММ и ОК) предусмотрено изучение важнейших разделов дисциплин «Сопротивление материалов» и «Детали машин и основы конструирования», являющихся фундаментом общепрофессиональной подготовки студентов.

Порядок выполнения заданий по курсу ММ и ОК построен на принципе органического единства традиционных дисциплин подготовки бакалавров к проектно-конструкторской профессиональной деятельности. Их выполнение способствует обобщению, углублению и закреплению знаний, полученных при изучении курса, для последующего применения их при комплексном решении задачи проектирования механизмов электромеханического привода.

Методические указания содержат задания по шести основным разделам курса. В каждом разделе приведён пример решения типовой задачи. Указан список литературных источников по разделам курса и сборников задач с примерами их решения.

Номер схемы для выполнения задания соответствует последней цифре номера зачетной книжки, а номер варианта числовых значений параметров – предпоследней цифре. Например, если номер зачётной книжки 901638, то нужно выполнять задание, соответствующее расчетной схеме 8 и числовым значениям параметров по варианту 3. Цифра ноль соответствует десятому варианту или десятой схеме задания.

Расчётно-графические работы оформляются в виде пояснительной записки, содержащей формулы, расчётные схемы, эпюры, числовые значения параметров, результаты вычислений и краткие пояснения выполняемых действий.

2

1. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЕЙ

Задание 1. К стальному (Ест, т) или чугунному (Еч, вр, вс) стержню (брусу) переменного сечения площадью Аi приложены сосредоточенные силы F1 и F2 и распределенная нагрузка интенсивностью q согласно схеме (рис. 1). Определить коэффициент запаса прочности стержня (по его величине сделать вывод о разрушении) и перемещение его не опёртого конца. Исходные данные для расчета приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные к заданию 1

 

 

Числовые значения параметров по вариантам

 

Параметр

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F1, кН

60

80

50

80

40

20

40

80

60

70

F2, кН

40

20

60

50

60

80

80

20

20

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q, кН/м

200

400

100

200

100

100

200

400

100

200

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L, м

0,2

0,1

0,4

0,3

0,2

0,4

0,3

0,1

0,4

0,25

А104 м2

4

6

2

8

4

5

4

8

6

2

Материал

Сталь

Чугун

Чугун

Сталь

Чугун

Чугун

Сталь

Сталь

Чугун

Чугун

T, МПа

300

-

-

340

-

-

380

650

-

-

вр, МПа

-

120

280

-

150

180

-

-

150

200

вс, МПа

-

500

1000

-

600

700

-

-

600

780

3

Рис. 1. Расчётные схемы к заданию 1. В кружках – номера вариантов

4

Указания по выполнению задания

1.Построить эпюру продольных сил N , применяя метод сечений.

2.Построить эпюру нормальных напряжений по эпюре N, используя зависимость N / А.

3.Найти максимальное значение напряжений mах на эпюре . Определить коэффициент запаса прочности по формуле S lim / max ,

где

lim

предельные напряжения для пластических материалов

lim

тр

тс , для хрупких - и lim= вр или lim= вс , max макси-

мальные напряжения в стержне. Предел текучести т и пределы

прочности при растяжении σвр и сжатии σвс

определяют по таблицам

[6 8] в зависимости от марки материала. Если m ax lim

( S 1),

то наступает разрушение конструкции.

 

 

 

4. Построить эпюру перемещений сечений стержня по зависимо-

сти

li Nili

/ (Ei Ai ) . Определить перемещение неопёртого (свобод-

ного)

конца

стержня. Принять

модули

упругости для

стали

Е

 

2 105 МПа, для чугуна – Е

105 МПа.

 

ст

 

 

ч

 

 

 

ПРИМЕР РАСЧЕТА

К чугунному брусу (стержню) переменного сечения площадью Аi приложены сосредоточенные силы F1 40 кН, F2 60 кН и распределённая нагрузка q 200 кH/м согласно схеме (рис. 2). Определить коэффициент запаса прочности бруса и перемещение его свободного конца, если площадь сечения A 4 10 4 м2, а длина l 0,2 м.

Решение

1. Разбиваем стержень на силовые участки, в пределах которых силовой фактор описывается одним математическим выражением. Границами участков являются границы стержня и сечения (точки), в которых приложены нагрузки. Стержень содержит четыре силовых участка. Определение опорной реакции в защемлении (заделке) не является обязательным, так как внутренние продольные усилия в сечениях стержня можно найти методом сечений, перемещаясь вдоль продольной оси (оси z) от свободного конца стержня к защемлению (на рис. 2, а сверху вниз).

5

Рис. 2. К расчету стержня на растяжение (сжатие): а – расчетная схема стержня; б – расчетная схема для второго участка; в – расчетная схема для третьего участка; г – эпюра продольной силы; д – эпюра напряжений; е – эпюра удлинений стержня

Мысленно проведём на первом силовом участке сечение 1-1 и, отбросив нижнюю часть стержня, рассмотрим равновесие верхней части. На первом участке внешние силовые факторы отсутствуют, поэтому внутреннее продольное усилие N1 0.

Выполним аналогичные операции на втором силовом участке. К верхней части стержня сечения 2-2 приложим внутреннее растягивающее продольное усилие, которое условно считаем положительным (направлено от сечения 2-2 вдоль оси z), и внешнюю силу F1 (рис. 2, б). Под действием этих сил верхняя часть стержня находится в равновесии.

Для второго участка уравнение статического равновесия

Zi 0;

N2 F1 0;

N2 F1 40 кН. Знак минус показывает, что внутренняя продольная сила сжимающая и постоянная на всем участке. Эпюра продольной силы N2 на втором участке ограничивается прямой, параллельной базисной линии (рис. 2, г).

Аналогично мысленно выполним сечение 3-3 на третьем участке (рис. 2, в). Переменная координата изменяется от 0 до 5l, (5l z3 0). Условия равновесия верхней части стержня на третьем участке имеют вид

Zi 0; N3 F1 qz3 0 ; N3 F1 qz3 ; 5l z3 0

6

вначале третьего участка при z3 0 N3 0 F1 q 0 F1 40 кН (сжатие);

вконце третьего участка при z3 5l

N3 (5l) F1 q 5l 40 200 5 0,2 160 кН (растяжение).

Эпюра продольной силы N3 на третьем участке представляется наклонной прямой (рис. 2, г), так как q const , а переменная z3 в первой степени.

При определении внутреннего продольного усилия методом сечений нет необходимости всякий раз изображать отсеченную часть бруса. Достаточно мысленно выполнить изображенные на рис. 2, а и 2, б действия, направить внутреннее продольное усилие от сечения (как растягивающее усилие) и написать уравнение статического равновесия отсеченной части стержня. Для четвёртого участка (сечение 4-4) оно имеет вид

N4 F1 q 5l F2 0; N4 F1 q 5l F2 40 200 5 0,2 60 100

кН (растяжение).

Продольная сила N4 - растягивающая и постоянная на всем четвертом участке, изображенная на эпюре прямой, параллельной базисной линии (рис. 2, г). При определенном навыке можно пропускать уравнение статического равновесия, а записывать выражение для N сразу, учитывая внешние силовые факторы со знаком плюс, если они направлены от рассматриваемого сечения, и минус, если они направлены в сторону рассматриваемого сечения.

2. Построим эпюру нормальных напряжений σ для определения максимальных напряжений. Напряжение на первом участке постоянное и равное

1 N1 / A 0 .

На втором участке нормальное напряжение постоянно и равно:

2 N2 / A 40 10 4 / 4 10 4 100 106 Н/м2 100 МПа.

На третьем участке напряжения переменные, так как продольная сила изменяется линейно N3 (z3 ) и изменяется площадь сечения. В

начале третьего участка

3 (0) N3 (0) / (2A) ( 40 103 ) / (2 4 10 4 ) 50 106 Н/м2 50 МПа.

На расстоянии z3 2l при площади сечения :

N3 (3l) F1 q 3l 40 200 3 0,2 80 кН (растяжение).

7

3 (3l) N3 (3l) / (2A) (80 103 ) / (2 4 10 4 ) 100 106 Н/м2 100 МПа.

Там же при площади

3 (3l) N3 (3l) / (3A) (80 103 ) / (3 4 10 4 ) 67 106 Н/м2 67 МПа.

Вконце третьего участка:

3 (5l) N3 (5l) / (3A) (160 103 ) / (3 4 10 4 ) 133 106 Н/м2 133 МПа.

 

На четвертом участке:

 

 

4 N4 / (3A) (100 103 ) / (3 4 10 4 ) 83 106

Н/м2 83 МПа.

 

По полученным значениям напряжений строим эпюру σ (рис. 2,

д).

Видно, что максимальное нормальное напряжение в стержне

max

133 МПа.

 

 

Коэффициент запаса прочности

 

Slim / max вр / max 150 /133 1,13.

3.Определим перемещения на каждом силовом участке стержня. На первом силовом участке перемещения

l1 N1 l1 / (Er A2 ) 0 , так как N1=0. На втором участке перемещения

l2 N2 l2 / (Er A2 ) N2 2l / (Er A) ( 40 103 2 0,2) / (105 106 4 104 ) 4 10 4

0,4 мм (сокращение длины). Перемещение на третьем участке

l3 l3 l3 ,

где ∆l3' – перемещение подучастка третьего участка с меньшим сечением площадью , а ∆l3'' – перемещение подучастка с бóльшим сечением 3A;

l3' N3(0) l3' / Er A3' q(l3)2 / 2Er A3' N3(0) 3l / Er 2A q(3l)2 / 2Er 2A ;l3' 40 103 3 0,2 / 105 106 2 4 10 4 200 103 (3 0,2)2 / 2 105 106 2 4 10 4 ;

l3' 3 10 4 4,5 10 4 0,15 мм (удлинение);

l3'' N3(3l) l3'' / Er A3'' q(l3'' )2 / 2Er A3'' N3(3l) 2l / Eч 3A q(2l)2 / 2Eч 2A ;

l3'' 80 103 2 0,2 / 105 106 3 4 10 4 200 103 2 0,2 2 / 2 105 106 3 4 10 4 ;

l3'' 2,7 104 1,3 10 4 4 10 4 м 0,4 мм (удлинение);l3 0,15 0,4 0,55 мм

Перемещение на четвертом участке

l4 N4 l4 / (Er A4) N4 l / (Er 3A) (100 103 0,2)/ (105 106 3 4 10 4) 1,7 10 4 м =

8

0,17 мм (удлинение).

Построение эпюры перемещений сечений стержня ∆l начинают от защемления, где перемещение защемлённого сечения l 0. Тогда на границе четвертого и третьего участков оно составит l 0,17 мм. На третьем участке перемещения сечений изменяются по параболе. В месте изменения размеров перемещение сечения составит

l l4 l3'' 0,17 0,4 0,57 мм.

Перемещение на границе третьего и второго участков:

l l4 l3'' l3' 0,17 0,4 0,15 0,72 мм.

Первый силовой участок не нагружен внешними силами, поэтому не даёт приращения перемещения ( l1 0). Перемещение свободного

конца стержня (рис. 6, е)

l l4 l3'' l3' l2 l1 0,17 0,4 0,15 0,4 0 0,32 мм.

Эпюра на первом участке изображена прямой, параллельной базисной линии. Перемещение (удлинение) свободного конца l 0,32 мм.

2. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Задание 2. Круглый стальной брус диаметром d1, одним концом жёстко закрепленный в заделке, воспринимает действие сосредоточенных, вращающих (скручивающих) моментов Ti (рис. 3). Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Определить коэффициент запаса прочности бруса, если модуль сдвига стали G 8 104 МПа, предельные касательные напряжения lim 170 МПа. Исходные данные для расчета даны в табл. 2.

Указания по выполнению задания

1.Построить эпюру крутящих моментов T, применяя метод сече-

ний.

2.Построить эпюру касательных напряжений τ, используя эпюру

Ти зависимость Т / Wp .

3.Найти максимальное значение напряжений τmах на эпюре τ и определить коэффициент запаса прочности по формуле S lim / max , где τlim

предельные напряжения, для пластических материалов lim T , для хрупких - lim в. Пределы текучести τт и прочности τв определяют по таб-

9

лицам в зависимости от марки материала. Если max lim (S 1), то наступает разрушение конструкции.

Рис. 3. Расчетные схемы к заданию 2. В кружках – номера вариантов

10