Билет№7 Теорема Кронекера Капелли.

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Если ранг основной матрицы равен кол-ву неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы меньше кол-ва неизвестных то система имеет бесконечное множество решений.

Билет №8 Решение СЛАУ: метод Крамера

Ответ: (1, 6, 5)

Билет 9 Решение СЛАУ: метод обратной матрицы

Исходная система равносильна матричному уравнению.

АХ=В, где

,

Билет№ 10 Решение СЛАУ: метод Гаусса

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~

Билет№11 Векторы: линейные операции

Векторы

В геометрическом смысле В алгебраическом смысле

Под вектором понимается направленный отрезок (семейство параллельных равных по длине направленных отрезков)

Длинной вектора называется длина соответствующего направленного отрезка, как правило обозначается заключением вектора двумя вертикальными чертами.

Векторы называются коллинеарными если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.

Если векторы при этом направлены в одну сторону, то их называют сонаправленными, если в противоположную то противоположно-направленные.

Два вектора наз-ся равными если они со направлены и их длины равны между собой.

Три вектора наз-ся комплонарными, если их можно расположить в одной плоскости.

Линейные операции над векторами.

В

1. Сложение

А)

А

С

АВ+ВС

АВ+ВС=АС

Сумма векторов есть вектор начало которого является началом первого, а конец с концами второго вектора.

Данное правило сложения наз-ся правилом треугольника.

Б)

В

С

А

D

Для сложения векторов достраивают до параллелограмма. Вектором суммы будет являться диагональ этого параллелограмма выпущенный из той же точки

АВ+АD=АС (АВСD – параллелограмм)

2. Умножение вектора на число

а) α > 0 = α↑↑и

Результатом умножения этого вектора на число α будет вектор сонаправленный с вектором длина которого равна числуα умноженному на вектор

б) α ˂ 0

Результатом умножения на отрицательное число будет вектор противоположно-направленное к векторудлина которого отличается от длины векторав

Совмещая две операции, сложение и умножение на число можно рассмотреть операции вычитание векторов.

3. Вычитание

А

В

С

АС - АВ = ВС

Для практического вычитания 2-х векторов необходимо их выпустить из одной точки, при этом в результате получится вектор начало которого совпадает с концом 2-го вектора, а конец совпадает с концом 1-го вектора.

Замечание: полезно помнить, что медиана треугольника является полу суммой сторон векторов выходящих из той же точки.

а

с

б

Диагональю параллелограмма являются суммой и разностью его сторон.

а

с

b

d

Свойства линейных операций над векторами

1. Сложение векторов коммутативно и ассоциативно

2. 

3. Умножение вектора на число дистрибутивно.

Билет№12 Скалярное произведение векторов

Опр: Скалярное произведение векторов наз-ся число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между векторами.

(1)

(2)

Из формулы (1) следует формула (2)

Если (острый)

Если угол тупой то ˂ 0

Если угол острый то > 0

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю

1. Скалярное произведение перестановочно (комуникативно)

а*b=b*a

2. Скалярное произведение векторов дистрибутивно.

a(b+c)=a*b+a*c

(a+b)c=a*c+b*c

3. Скалярный квадрат

Применение скалярного произведения:

Найти длины диагоналей построенного на векторах

a+3b=, 2a-b=(вектора со стрелками)

решение:

1. 

2. 

1)

a)

б)