1 Способ: с помощью миноров

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:   0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

2 Способ: с помощью элементарных преобразований

~

~ ~

Ранг матрицы равен 2, т.к число ненулевых строк – 2

Билет №4 Обратная матрица. Определение. Вычисление.

Обратная матрица может существовать только у квадратной матрицы

Обратная матрица называется обратной матрице А если

- это матрица составленная из алгебраических дополнений элементами матрицы А и транспонированная, она называется матрицей, присоединенная к матрице А

Билет№5 Определители 2-го и 3-го порядка

Определитель 2-го порядка (2×2) – число характеризующее квадратную матрицу 2-го порядка вычисляемое по правилу:

Из произведения главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали

Определитель 3-го порядка (3×3) – это число характеризующее квадратную матрицу 3-го порядка

Вычисляется по правилу:

=

=(

Замечание: правило вычисление определители 3-го порядка называется правилом треугольника

Как правило, его использование включает в себя большое количество операций, поэтому на практике стараются использовать более универсальный способ (разложение по первой строке)

Билет №6 Системы линейных алгебраических уравнений (слау) Основные понятия

В системе (1) все переменные входят в каждое уравнение не более чем в 1-ой степени.

В матричном виде система линейных алгебраических уравнений можно записать как АХ=В

Опр: Решить СЛАУ означает найти все элементы матриц х или все наборы матриц или доказать, что таких матриц не существует.

Метод Гаусса при решении СЛАУ

Замечание 1: все преобразования проводятся только со строками.

Элементарные преобразования могут проводиться со строками и столбцами.

Замечание 2: на расширенную матрицу системы смотрят как на единичную матрицу. Все операции с основной матрицей также выполняются с матрицей свободных членов.

Замечание 3: цель преобразования расширенной матрицы – привести матрицу к треугольному или трапецеидальному виду.

СЛАУ может иметь единственное решение и может не иметь решений вообще и может иметь бесконечное множество решений.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; несовместной если не имеет решений.

Совместная система назыв-ся определенной, если она имеет ровно одно решение.

Совместная система наз-ся неопределенной если она имеет бесконечной множество решений.

Система наз-ся однородной, если столбец свободных членов являются нулевой матрицей.

Однородные системы всегда совместны.