8. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Постановка задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

План решения

С помощью поворота системы координат Оxy переходим к системе координат Оx'y', в которой уравнение кривой не содержит произведения текущих координат х'y'.

Угол поворота  системы координат находим из равенства . Подставляя в уравнение линии второго порядка формулы поворота координатных осейполучаем уравнение.

Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел равно нулю), с помощью параллельного переноса системы координатОx'y' переходим к системе О'x"y", в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Строим полученную кривую.

Условие задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка (табл. 8) к каноническому виду и построить кривую.

Таблица 8

№	Уравнение линии
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Окончание табл. 8

26
27
28
29
30

9. Прямая линия в пространстве и плоскость

Постановка задачи

Заданы координаты точек A₁ , A₂ , A₃ , A₄ . Написать канонические уравнения прямых A₁A₂ и A₁A₄  и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A₁A₂A₃ . Найти угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃ . Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃ .

План решения

Канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₁(x₁ ; y₁ ; z₁), М₂(x₂ ; y₂ ; z₂), имеют вид . Подставляя в эти равенства координаты соответствующих точек, получаем искомые уравнения прямых.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами и. Острый уголα между векторами инаходим из равенства.

Используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три точки, составляем уравнение плоскости A₁A₂A₃ .

Угол β между прямой и плоскостью находим из равенства , где– направляющий вектор прямой,– нормальный вектор плоскости.

Составляем уравнения прямой, проходящей через точку A₄ перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃ . Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости.

Условие задачи

Даны координаты точек A₁ , A₂ , A₃ , A₄ (табл. 9). Написать канонические уравнения прямых A₁A₂ и A₁A₄  и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A₁A₂A₃ . Найти угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃ . Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃ .

Таблица 9

№	A1	A2	A3	A4
1	(2; 3; 2)	(10; 7; 3)	(6; 6; 3)	(8; 9; 5)
2	(3; 5; 2)	(1; 7; 5)	(5; 6; 8)	(1; 6; 4)
3	(6; 1; 4)	(3; –3; 8)	(5; –5; 8)	(8; 3; 3)
4	(2; 5; 4)	(5; 3; 6)	(8; 3; 5)	(8; 2; 10)
5	(3; 4; 3)	(7; –4; 4)	(6; 0; 4)	(9; 10; 6)
6	(1; 2; 3)	(3; 4; 6)	(–3; 1; 6)	(3; 3; 5)
7	(3; 5; 1)	(0; 1; 5)	(1; 0; 5)	(7; 9; –1)
8	(5; –2; 4)	(7; 1; 6)	(7; 4; 5)	(8; 4; 10)
9	(1; 2; 1)	(9; –2; 2)	(–3; 5; 0)	(7; 8; –2)
10	(4; 1; 3)	(2; 3; 6)	(5; –3; 6)	(3; 3; 5)
11	(3; –1; 2)	(7; 2; 6)	(9; 0; 6)	(5; 1; 3)
12	(3; 5; 4)	(1; 8; 6)	(–1; 2; 6)	(9; –1; 1)
13	(1; 1; 2)	(–3; 9; 3)	(–2; 5; 3)	(7; 7; –1)
14	(1; 4; 3)	(–1; 6; 6)	(6; –4; 0)	(2; 2; 1)
15	(2; 4; 1)	(6; 7; 5)	(7; 6; 5)	(6; 8; 3)
16	(1; 2; 2)	(3; 5; 4)	(5; –1; 4)	(7; 8; 5)
17	(2; –2; 1)	(10; 2; 2)	(6; 1; 2)	(8; 4; 4)
18	(3; 4; –1)	(1; 6; 2)	(5; 5; 5)	(1; 5; 1)
19	(2; 5; 3)	(–1; 1; 7)	(1; –1; 7)	(4; 7; 2)
20	(1; 4; 2)	(4; 2; 4)	(7; 2; 3)	(7; 1; 8)
21	(3; 1; 4)	(7; –7; 5)	(6; –3; 5)	(9; 7; 7)
22	(2; 4; 3)	(4; 6; 6)	(–2; 3; 6)	(4; 5; 5)
23	(5; –2; –1)	(2; –6; 3)	(3; –7; 3)	(9; 2; –3)
24	(5; 2; 1)	(7; 5; 3)	(7; 8; 2)	(8; 8; 7)
25	(2; –1; 7)	(10; –5; 8)	(–2; 2; 6)	(8; 5; 4)
26	(4; 7; 8)	(2; 9; 11)	(5; 3; 11)	(3; 9; 10)
27	(2; 1; 3)	(6; 4; 7)	(8; 2; 7)	(4; 3; 4)
28	(1; 5; 2)	(–1; 8; 4)	(–3; 2; 4)	(7; –1; –1)
29	(6; 1; 4)	(2; 9; 5)	(3; 5; 5)	(12; 7; 1)
30	(6; 5; 1)	(4; 7; 4)	(11; –3; –2)	(7; 3; –1)

Алгебра и геометрия: методические указания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения направлений подготовки 090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»

Андрей Иванович Гореленков

Научный редактор В.М. Кобзев

Редактор издательства Л.И. Афонина

Компьютерный набор А.И. Гореленков

Темплан 2013 г., п. 345

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,1 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7. тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.