4. Операции над векторами в произвольном базисе
Постановка задачи
В произвольном
базисе
заданы векторы
и
.
Вычислить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
острый угол между диагоналями
параллелограмма, площадь параллелограмма.
План решения
Длины диагоналей
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
равны модулям векторов
и
.
Используя свойства и определение
скалярного произведения, вычисляем
и
.
Угол между
диагоналями параллелограмма равен углу
между векторами
и
.
Острый уголφ
между векторами
и
находим из равенства
.
Площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
равна модулю их векторного произведения.
Используя свойства и определение
векторного произведения, вычисляем
.
Условие задачи
Даны векторы
и
.
Вычислить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
острый угол между диагоналями
параллелограмма, площадь параллелограмма.
Значения
коэффициентов l,
m,
n,
k,
модули векторов
,
и угол между ними приведены в табл. 4.
Таблица 4
|
№ |
l |
m |
n |
k |
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
2 |
7 |
2 |
5 |
30° |
|
2 |
5 |
2 |
4 |
5 |
6 |
2 |
30° |
|
3 |
1 |
4 |
7 |
2 |
3 |
7 |
45° |
|
4 |
4 |
3 |
6 |
7 |
3 |
3 |
30° |
|
5 |
3 |
4 |
6 |
6 |
3 |
7 |
60° |
|
6 |
6 |
5 |
1 |
1 |
3 |
5 |
60° |
|
7 |
3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
1 |
30° |
|
8 |
4 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
60° |
|
9 |
3 |
7 |
1 |
4 |
5 |
7 |
60° |
|
10 |
7 |
1 |
6 |
4 |
7 |
4 |
30° |
|
11 |
4 |
6 |
6 |
7 |
1 |
2 |
60° |
Окончание табл. 4
|
№ |
l |
m |
n |
k |
|
|
|
|
12 |
3 |
6 |
2 |
3 |
2 |
7 |
45° |
|
13 |
4 |
1 |
3 |
7 |
2 |
4 |
30° |
|
14 |
2 |
1 |
5 |
6 |
1 |
6 |
60° |
|
15 |
3 |
5 |
5 |
2 |
2 |
1 |
30° |
|
16 |
3 |
2 |
7 |
4 |
1 |
1 |
30° |
|
17 |
7 |
4 |
6 |
1 |
1 |
3 |
60° |
|
18 |
4 |
7 |
7 |
1 |
1 |
7 |
45° |
|
19 |
3 |
7 |
1 |
2 |
1 |
3 |
30° |
|
20 |
5 |
5 |
7 |
7 |
5 |
7 |
60° |
|
21 |
7 |
5 |
6 |
3 |
5 |
1 |
45° |
|
22 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
4 |
45° |
|
23 |
6 |
7 |
4 |
6 |
1 |
7 |
45° |
|
24 |
1 |
4 |
6 |
3 |
4 |
7 |
45° |
|
25 |
3 |
6 |
4 |
5 |
5 |
4 |
45° |
|
26 |
7 |
3 |
6 |
5 |
5 |
3 |
60° |
|
27 |
3 |
5 |
4 |
7 |
7 |
2 |
45° |
|
28 |
3 |
1 |
4 |
7 |
4 |
2 |
30° |
|
29 |
5 |
1 |
6 |
4 |
1 |
2 |
60° |
|
30 |
3 |
3 |
4 |
4 |
2 |
1 |
45° |
5. Операции над векторами в ортонормированном базисе
Постановка задачи
Заданы
координаты точек A1 ,
A2 ,
A3 ,
A4 .
Вычислить координаты векторов
,
,
,
острый угол между векторами
и
,
площадь треугольникаA1A2A3 ,
объем пирамиды A1A2A3A4 .
План решения
Координаты вектора находим как разности соответствующих координат их конца и начала.
По формулам для
скалярного произведения двух векторов
и длины вектора в ортонормированном
базисе вычисляем
,
,
.
Острый уголφ
между векторами
и
находим из равенства
.
Площадь треугольника,
построенного на векторах
и
,
равна одной второй модуля их векторного
произведения. По формуле для векторного
произведения двух векторов в
ортонормированном базисе вычисляем
координаты вектора
и его модуль. Находим площадь треугольника.
Объём треугольной
пирамиды, построенной на векторах
,
и
,
равен одной шестой модуля их смешанного
произведения. По формуле для смешанного
произведения трех векторов в
ортонормированном базисе вычисляем
и находим объем пирамиды.
Условие задачи
Даны
координаты точек A1 ,
A2 ,
A3 ,
A4
(табл. 5). Вычислить координаты векторов
,
,
,
острый угол между векторами
и
,
площадь треугольникаA1A2A3 ,
объем пирамиды A1A2A3A4 .
Таблица 5
|
№ |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
|
1 |
(2; 3; 2) |
(10; 7; 3) |
(6; 6; 3) |
(8; 9; 5) |
|
2 |
(3; 5; 2) |
(1; 7; 5) |
(5; 6; 8) |
(1; 6; 4) |
|
3 |
(6; 1; 4) |
(3; –3; 8) |
(5; –5; 8) |
(8; 3; 3) |
|
4 |
(2; 5; 4) |
(5; 3; 6) |
(8; 3; 5) |
(8; 2; 10) |
|
5 |
(3; 4; 3) |
(7; –4; 4) |
(6; 0; 4) |
(9; 10; 6) |
|
6 |
(1; 2; 3) |
(3; 4; 6) |
(–3; 1; 6) |
(3; 3; 5) |
|
7 |
(3; 5; 1) |
(0; 1; 5) |
(1; 0; 5) |
(7; 9; –1) |
|
8 |
(5; –2; 4) |
(7; 1; 6) |
(7; 4; 5) |
(8; 4; 10) |
|
9 |
(1; 2; 1) |
(9; –2; 2) |
(–3; 5; 0) |
(7; 8; –2) |
|
10 |
(4; 1; 3) |
(2; 3; 6) |
(5; –3; 6) |
(3; 3; 5) |
|
11 |
(3; –1; 2) |
(7; 2; 6) |
(9; 0; 6) |
(5; 1; 3) |
|
12 |
(3; 5; 4) |
(1; 8; 6) |
(–1; 2; 6) |
(9; –1; 1) |
|
13 |
(1; 1; 2) |
(–3; 9; 3) |
(–2; 5; 3) |
(7; 7; –1) |
|
14 |
(1; 4; 3) |
(–1; 6; 6) |
(6; –4; 0) |
(2; 2; 1) |
|
15 |
(2; 4; 1) |
(6; 7; 5) |
(7; 6; 5) |
(6; 8; 3) |
|
16 |
(1; 2; 2) |
(3; 5; 4) |
(5; –1; 4) |
(7; 8; 5) |
|
17 |
(2; –2; 1) |
(10; 2; 2) |
(6; 1; 2) |
(8; 4; 4) |
|
18 |
(3; 4; –1) |
(1; 6; 2) |
(5; 5; 5) |
(1; 5; 1) |
Окончание табл. 5
|
№ |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
|
19 |
(2; 5; 3) |
(–1; 1; 7) |
(1; –1; 7) |
(4; 7; 2) |
|
20 |
(1; 4; 2) |
(4; 2; 4) |
(7; 2; 3) |
(7; 1; 8) |
|
21 |
(3; 1; 4) |
(7; –7; 5) |
(6; –3; 5) |
(9; 7; 7) |
|
22 |
(2; 4; 3) |
(4; 6; 6) |
(–2; 3; 6) |
(4; 5; 5) |
|
23 |
(5; –2; –1) |
(2; –6; 3) |
(3; –7; 3) |
(9; 2; –3) |
|
24 |
(5; 2; 1) |
(7; 5; 3) |
(7; 8; 2) |
(8; 8; 7) |
|
25 |
(2; –1; 7) |
(10; –5; 8) |
(–2; 2; 6) |
(8; 5; 4) |
|
26 |
(4; 7; 8) |
(2; 9; 11) |
(5; 3; 11) |
(3; 9; 10) |
|
27 |
(2; 1; 3) |
(6; 4; 7) |
(8; 2; 7) |
(4; 3; 4) |
|
28 |
(1; 5; 2) |
(–1; 8; 4) |
(–3; 2; 4) |
(7; –1; –1) |
|
29 |
(6; 1; 4) |
(2; 9; 5) |
(3; 5; 5) |
(12; 7; 1) |
|
30 |
(6; 5; 1) |
(4; 7; 4) |
(11; –3; –2) |
(7; 3; –1) |