- •I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- •2. Два определения скалярного произведения.
- •3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- •4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •7. Операции над векторами в пространстве.
- •8. Векторное произведение и его свойства
- •9.Смешанное произведение и его свойства
- •11.Расстояние от точки до плоскости.
- •16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- •17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- •II. Линейная алгебра}
- •1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- •2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- •3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- •4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- •5.Свойства определителя
- •6.Свойства определителей
- •1)Обратная матрица
- •2)Теорема об определителе произведения матриц
- •9. Методы обращения матрицы.
- •10. Ранг матрицы и его свойства.
- •11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- •12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- •13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- •14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- •17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- •18. Матрица линейного преобразования координат.
- •20. Классификация кривых второго порядка.
- •21. Классификация поверхностей второго порядка.
- •III. Дифференциальное исчисление
- •2.Последовательности.
- •3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- •6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- •7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- •8.Первый замечательный предел
- •9.Второй замечательный предел
- •10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- •11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •Комментарии
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •[Править] Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •[Править] Глобальные
- •12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- •13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •14.Предел последовательности комплексных чисел.
- •15.Непрерывность сложных и обратных функций
- •17.Непрерывность функции на отрезке
- •18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- •19.Свойства производной функции.
- •23. Производные высших порядков
- •24.Теорема Ролля.
- •Доказательство
- •Следствия
- •1. Теорема Ролля
- •27. Формула Тейлора.
- •28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- •29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- •30. Достаточные условия экстремума.
- •31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- •32. Выпуклость. Точки перегиба
- •33. Общая схема исследования функции.
11.Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле
12. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются
13.Прямая в пространстве и способы ее представления
Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:
•через две точки проходит единственная прямая;
•если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
14.Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке.
15.Взаимное расположение прямых в пространстве
две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).
две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства.
две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Две прямые перпендикулярны, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам.
16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
Расстояние между двумя прямыми
Расстояние между двумя пересекающимися прямыми равно нулю.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра (такой отрезок единственный).
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой, или расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
Расстояние между прямой и плоскостью
Расстояние от прямой до непараллельной ей плоскости равно нулю.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
ДЕКА?РТОВА СИСТЕ?МА КООРДИНА?Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве.
1-я ось – ось абсцисс
2-я ось – ось ординат
3-я ось – ось апликат
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается ФИ, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.
Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где r — расстояние до начала координат, а ? и фи — зенитный и азимутальный угол соответственно.