- •I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- •2. Два определения скалярного произведения.
- •3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- •4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •7. Операции над векторами в пространстве.
- •8. Векторное произведение и его свойства
- •9.Смешанное произведение и его свойства
- •11.Расстояние от точки до плоскости.
- •16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- •17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- •II. Линейная алгебра}
- •1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- •2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- •3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- •4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- •5.Свойства определителя
- •6.Свойства определителей
- •1)Обратная матрица
- •2)Теорема об определителе произведения матриц
- •9. Методы обращения матрицы.
- •10. Ранг матрицы и его свойства.
- •11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- •12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- •13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- •14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- •17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- •18. Матрица линейного преобразования координат.
- •20. Классификация кривых второго порядка.
- •21. Классификация поверхностей второго порядка.
- •III. Дифференциальное исчисление
- •2.Последовательности.
- •3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- •6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- •7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- •8.Первый замечательный предел
- •9.Второй замечательный предел
- •10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- •11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •Комментарии
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •[Править] Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •[Править] Глобальные
- •12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- •13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •14.Предел последовательности комплексных чисел.
- •15.Непрерывность сложных и обратных функций
- •17.Непрерывность функции на отрезке
- •18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- •19.Свойства производной функции.
- •23. Производные высших порядков
- •24.Теорема Ролля.
- •Доказательство
- •Следствия
- •1. Теорема Ролля
- •27. Формула Тейлора.
- •28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- •29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- •30. Достаточные условия экстремума.
- •31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- •32. Выпуклость. Точки перегиба
- •33. Общая схема исследования функции.
18. Матрица линейного преобразования координат.
Матрицей линейного оператора ^A: Xn > Ym в базисах e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm называется матрица размера m ? n , у которой
1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства Xn : ^Ae1, ^Ae2, … , ^Aen в базисе пространства Ym ;
2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.
Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):
Замечания.
1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам).
2. Количество столбцов матрицы линейного оператора ^A: Xn > Ym равно размерности исходного пространства Xn , а количество строк —
размерности пространства Ym .
3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел).
4. Если оператор ^A отображает пространство Xn в Xn , то оба базиса совпадают и матрица оператора
^A (квадратная) определяется заданием
одного базиса.
19. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.Свойства:1.Критерий Сильвестра 2.Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. 3.Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен. 4.Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. 5.Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид. 6.Разность между числом положительных (p) и отрицательных (n-p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).7.Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.
Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и .
Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение: ;
(27 - l)(3 - l) – 25 = 0
l2 - 30l + 56 = 0
l1 = 2; l2 = 28;