5. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать.

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться.

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых.

Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.

Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат.

Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве

Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.

Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

7. Операции над векторами в пространстве.

для любого вектора пространства существует противоположныйвектор – , и притом единственный, такой, что +(– )=0

Произведением вектор на действительное число называется вектор, т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число

Суммой векторов и называется вектор, т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

8. Векторное произведение и его свойства

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

9.Смешанное произведение и его свойства

Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей

При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0..Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку

Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

10.. Плоскость в пространстве и различные формы ее представления.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду: называемому уравнением плоскости в отрезках.