2.Последовательности.

Последовательность — это набор элементов некоторого множества

1. Ограниченная последовательность.

Последовательность  называется ограниченной сверху, если существует такое число U, что  для любых номеровn. При этом число U называется верхней границейпоследовательности.        Последовательность  называется ограниченной снизу, если существует такое число  L, что  для любых номеровn. Число  L  называется нижней границейпоследовательности.        Последовательность  называется ограниченной, если существуют такие числа  L  и  U, что  для всехn = 1,2,3,… 

2. Монотонная последовательность.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

Последовательность элементов множестваназываетсянеубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

—неубывающая 

Последовательность элементов множестваназываетсяневозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

—невозрастающая 

Последовательность элементов множестваназываетсявозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

—возрастающая 

Последовательность элементов множестваназываетсяубывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

—убывающая 

3. Неограниченная последовательность.

Последовательность {х_n} называется неограниченной, если для любого как угодно большого положительного числа А существует элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |x_n | > A, (т.е. либо x_n > A, либо x_n < - A):

3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

В математике пределом последовательности называют объект ,к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Определение. Число  А  называется пределом последовательности  a₁,  a₂,  …, если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от  А.

Обозначение:  

Примеры. Вычислим пределы некоторых последовательностей. 1.

Ясно, что пределом этой последовательности будет число  0.  Действительно, взяв произвольное число  > 0, мы можем найти такой номер последовательности, после которого каждый член  a_nбудет меньше(т. е.).  Действительно,так что достаточно взять любое n,  большее числаИтак,

2.  при любом  k > 0.  Действительно, мы можем решить неравенствоСправа стоит вполне конкретное положительное число, которое указывает нам, с какого места числостанет меньше наперед заданного числа> 0.

Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году,позже она была независимо получена Вейерштрассом.

Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема справедлива как для действительных, так и для комплексных чисел.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел  . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.