29

Вопросы к экзамену по предмету

«Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Случайные события. Алгебра событий.

2. Классическое и статистическое определения вероятности. Геометрические вероятности.

статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

3. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.

Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.

аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.

1. .

2. P(A)=1, если А - достоверное событие.

3. , если А и В несовместны.

Основные свойства вероятности

1.Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем .

2.Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.

Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

3.Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

4.Для произвольных событий А и В

.

Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

5.Для противоположных событий А и имеет место равенство .

Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное , которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P()=0 .

4. Вероятности суммы и произведения случайных событий (теорема сложения).

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух совместных

событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произ-

ведения, т.е.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятно-

стей этих событий, т.е.

P(A + B) = P(A) + P(B).

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

вероятность произведения случайных событий равна произведению условных вероятностей этих событий:

5. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

6. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

7. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

8. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.

9. Теорема Пуассона.

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли. Пусть — вероятность «успеха», — количество «успехов».

Тогда если

1

2

3

то

Используя формулу Бернулли, получим, что

так как

при

Но так как

1

2

3

то полученное равенство превращается в

10. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины.

11. Закон распределения дискретной случайной величины, многоугольник распределения.

12. Функция распределения вероятностей случайной величины. Ее свойства.

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x:

F(X) = P(ξ < X).

Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;

• F(x) не убывает, т.е. если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂);

• F(-)=0, F(+)=1, т.е.  и ;

• F(x) непрерывна справа, т.е. 

13. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Ее свойства.

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

.                                                 (6.7)

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

1.    Плотность распределения – неотрицательная функция:

p(t)³0.

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2.    =1.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

14. Основные виды распределений дискретных случайных величин (биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона) их числовые характеристики.

15. Основные виды распределений непрерывных случайных величин (равномерное, показательное и нормальное распределение) и их числовые характеристики.

16. Гауссовская случайная величина, ее числовые характеристики. Вероятность попадания гауссовской случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

Гауссовская случайная величина

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

 

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание. 

  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

 

  а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

 

  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ  вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(	β-a	)
	σ

-Ф(	α-a	)
	σ

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

P(|X-a|<δ)=2Ф(	δ	)
	σ

     ,где  δ — величина отклонения.

  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале(-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

17. Системы случайных величин. Функция распределения вероятностей системы двух случайных величин (двумерного случайного вектора), ее свойства.

Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y. Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины. Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:

P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Пусть Х = (Х1, Х2,…,ХN) – cовокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств , , K = 1, 2, ..., N.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(X), F2(Y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

18. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин (двумерного случайного вектора), ее свойства.

Предположим, что функция распределения  непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда смешанная частная производная функции 

Функция  называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин . Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки  в произвольную область 

(5.1)

Используя формулу (5.1), выразим функцию распределения системы  через плотность распределения :

(5.2)

Рассмотрим свойства плотности распределения системы двух случайных величин.

Свойство 1. Плотность распределения есть функция неотрицательная: .

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы равен единице: