5. Варианты заданий

Вариант 1

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 2

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 3

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 4

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 5

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 6

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 7

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 8

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 9

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 10

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 11

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 12

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков вычисления частных производных в математическом пакете MathСad.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучите теоретическую часть. Выполните задание, соответствующее номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте его преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист (Рис. 2);

• исходные данные варианта;

• последовательность действий для решения задачи;

• результаты решения задачи.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

С помощью Mathcad можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Вычисление и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование.

4. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ

Пример 1.

_{Вводим данные}

Находим производные

Пример 2.

Вводим данные

Записываем общую формулу частных производных

_{Подставляем в общую формулу координаты точки М и количество дифференцирований для каждой переменной}

Примеры 3 и 4.

Записываем общую формулу градиента некоторой функции f(x, y, z) и её производной по направлению V

_{Подставляем функцию g и координаты точки М}

5. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 2

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 3

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 4

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 5

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 6

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 7

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 8

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 9

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 10

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 11

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

Вариант 12

Задание 1. Для функции двух аргументов найдите её частные производные

, ,,,.

Задание 2. Для функции трёх аргументов найдите значения производных,,в точке.

Задание 3. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите её градиент в точке М.

Задание 4. Для функции F(x, y, z) из задания 2 найдите производную в точке М по направлению вектора .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков построения линейной и квадратичной зависимостей в математическом пакете MathСad.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучите теоретическую часть. Выполните задание, соответствующее номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте его преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист (Рис. 2);

• исходные данные варианта;

• последовательность действий для решения задачи;

• результаты решения задачи.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пусть проводится n испытаний, и результатом каждого из них является пара чисел – значения некоторых переменных x и y. Требуется установить зависимость между этими переменными. Итогом испытаний является таблица:

x	x1	x2	...	xn
y	y1	y2	...	yn

где каждому числу x_i поставлено в соответствие число у_i.

Допустим, что точки, взятые из таблицы, группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что между x и y существует линейная зависимость .

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений, который рассчитывается по формуле

Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратичную зависимость: , тогда. Сумма квадратов отклонений рассчитывается по формуле