Очевидно, что если u >1, то ln u =Cx , если же u <1, то ln u = −Cx, а

При разделении переменных считалось, что u ≠1. Непосредственно видно, что u =1 является решением уравнения (1.27) и что оно не потеряно, а содержится в семействе (1.29) при C = 0.

Возвращаясь к старой переменной, получим

y= xeCx ,

-общее решение уравнения (1.26) в области {x ≥1, y > 0}, где C - любое

число.

Пример 1.7. Для x ≥ 2 найти решение уравнения

Q(x, y) = −2xy . Каждая из этих функций является однородной второй

степени и, кроме того, они непрерывны и не обращаются одновременно в нуль в любой области D , не содержащей начала координат системы Oxy .

Введем подстановку y = xu(x) , где u - новая неизвестная функция x . Уравнение (1.30) при этом имеет вид

(x2 +3x2u2 )dx −2x2u(udx + xdu) = 0

или

x2 (1+u2 )dx = 2x3udu.

Сократив обе части уравнения на отличный от нуля множитель x2 и разделяя переменные, получим

dx = 2udu

x 1+u2

Выполняя интегрирование, сможем написать ln x = ln(1+u2 ) +ln C,

где C - произвольное положительное число. Из последнего равенства следует

x = C(1+u2 ).

Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл

16

Для отыскания частного интеграла, удовлетворяющего заданному начальному условию, положим в(1.31) x = 2, y = 0. Получим C = 2 . Если

подставить C = 2 в равенство (1.31), то сможем записать искомый частный интеграл в виде

y2 = x3 − x2 . 2

1.4. Линейные уравнения первого порядка

Рассмотрим третий тип дифференциальных уравнений первого порядка интегрируемых в квадратурах.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно может быть записано в виде

непрерывные функции на промежутке X . Отметим специально, что данное уравнение линейно относительно искомой функции y и ее

производной y '.

Легко видеть, что в согласии с теоремой существования и единственности уравнение (1.32) имеет единственное решение y = y(x),

удовлетворяющее условию y(x0 ) = y0 , где начальное значение y0 можно выбирать произвольным, а значение x0 брать любым из промежутка X .

Если q(x) = 0 всюду в X , то уравнение (1.32) называют линейным

однородным уравнением или линейным уравнением без правой части. В противном случае его называют линейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой частью.

В частности, однородное линейное уравнение имеет решение y(x) ≡ 0,

называемое нулевым или тривиальным.

Существует несколько методов решения линейных дифференциальных уравнений. Остановимся на двух из них.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Рассмотрим вначале однородное уравнение

Заметим, что так как уравнение (1.33) имеет нулевое решение y(x) ≡ 0

вX , то ни одно решение этого уравнения не может обратиться в нуль ни

водной точке промежутка X , ибо в этой точке нарушилась бы теорема

17

существования и единственности. Это означает, что любое решение уравнения (1.33) не меняет знака, т.е. график решения лежит либо выше оси Ox , либо ниже оси Ox .

Рассмотрим случай, когда y(x) > 0 . Легко видеть, что уравнение (1.33) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя

Интегрируя, получим

ln y = −∫ p(x)dx + ln C,

где C - произвольная положительная постоянная. После потенцирования найдем

y(x) ≡ 0 , то можно утверждать, что равенство (1.34) представляет собою

Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения (1.32). В согласии с методом Лагранжа будем искать его решение в виде (1.34), заменяя в ней произвольную постоянную C некоторой пока неизвестной

где функцию C(x) нужно выбрать так, чтобы функция (1.35) была

решением уравнения (1.32) (варьируем произвольную постоянную). Подставляя (1.35) в уравнение (1.32), имеем

C '(x)e−∫ p( x)dx +C(x)e−∫ p( x)dx (−p(x)) + p(x)C(x)e−∫ p( x)dx = q(x),

откуда следует

C '(x)e−∫ p( x)dx = q(x)

или

C '(x) = q(x)e∫ p( x)dx .

Выполняя интегрирование, будем иметь

18

которое представляет собою общее решение уравнения (1.32) в полосе

{x X , −∞ < y < +∞}.

Метод И.Бернулли. В согласии с этим методом будем искать решение уравнения (1.32) в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых на промежутке X функций u(x) и v(x), одна из

которых может быть выбрана по нашему желанию, а другая определяется с помощью уравнения (1.32), так что

Реализуем теперь свое право выбора функции u(x), взяв в качестве ее

Для этого в качестве u(x) надо взять любое ненулевое решение

уравнения (1.40). Уравнение вида (1.40) было решено выше и его общее решение имеет вид (1.34). Для получения искомого решения проще всего взять C =1, и тогда получим

Подставив (1.41) в уравнение (1.39), получим уравнение для определения функции v(x)

v '(x)e−∫ p( x)dx = q(x)

откуда

v '(x) = q(x)e∫ p( x)dx .

Выполняя интегрирование, сможем записать

где C - произвольная постоянная. Подставив (1.41) и (1.42) в (1.38), получим общее решение уравнения (1.32) в виде (1.37).

Пример 1.8. Решить уравнение

для x ≥1 двумя методами: Лагранжа и Бернулли.

1. В согласии с методом Лагранжа рассмотрим сначала однородное

19

где C - произвольная постоянная. В согласии с методом Лагранжа будем искать решение неоднородного уравнения (1.43) в виде (1.45), но вместо произвольной постоянной C возьмем некоторую непрерывно дифференцируемую функцию C(x), так что решение будем искать в виде

Подставив (1.46) в уравнение (1.43), сможем написать

C '(x)ex2 +C(x)ex2 2x −2xC(x)ex2 = 4x3ex2

откуда следует

C '(x) = 4x3.

Интегрируя, найдем

где C - произвольная постоянная. Подставив (1.47) в (1.46), получим общее решение уравнения (1.43) на плоскости Oxy в виде

y= (x4 +C)ex2 .

2.Следуя методу И.Бернулли, будем искать решение уравнения (1.43)

ввиде

где u(x) и v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, одна из

которых может быть выбрана произвольно. Подставив (1.48) в (1.43), получим

u 'v +uv '−2xuv = 4x3ex2

Выберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v равнялся

Решая уравнение (1.50) точно также как и уравнение (1.44), найдем его общее решение в виде

u = Cex2 ,

20

где C - произвольная постоянная. Подставляя (1.51) и (1.52) в (1.48), получим то же самое решение, что и по методу Лагранжа.

Пример 1.9. Найти решение уравнения

(1+ x2 ) y '−2xy = (1+ x2 )2 ,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 4 .

Приведем данное уравнение к виду (1.32), для чего разделим обе его

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (1.53), воспользуемся формулой (1.37), для чего выпишем вначале величины, входящие в него

Для нахождения искомого частного решения положим в (1.54) x =1, а y = 4

4 = 2(1+C)

откуда следует C =1.

Искомое частное решение имеет вид

y = (1+ x2 )(1+ x).

Пример 1.10. Решить уравнение при y > 0.

21