6.3. Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Теоретические положения

Геометрический метод решения задачи линейного программирования прост в использовании и обладает высокой наглядностью. Однако эти достоинства метода проявляются только при малом числе переменных задачи. При двух переменных многоугольник допустимых решений задачи представляет плоскую фигуру, которую легко изобразить в координатной плоскости. При трех переменных множество допустимых решений является трехмерным выпуклым многогранником и т.д. Геометрическая интерпретация такой фигуры становится весьма проблематичной.

Число переменных в реальных экономических задачах может достигать десятков и даже сотен. В этих условиях использование геометрического метода становится неприемлемым. В связи с этим необходим некоторый универсальный метод, позволяющий решать задачи с любым числом переменных. Одним из таких методов является симплексный метод решения задачи линейного программирования.

Суть метода состоит в последовательном переборе угловых точек многогранника допустимых решений задачи, т.е. вершин многогранника. Причем при переходе от одной вершины к другой значение целевой функции не должно ухудшаться. Рассмотрим практическую реализацию метода на конкретном примере.

Пример

Решить задачу линейного программирования, рассмотренную выше, симплексным методом.

Система ограничений:

x₁ +3 x₂  18,

2x₁ + x₂  16 (7)

x₂  5,

3x₁  21

Дополнительные условия:

x₁  0, x₂  0. (8)

Линейная функция:

F =2x₁ + 3x₂  max. (9)

Сформулированная задача имеет вполне определенный экономический смысл. Допустим, некоторая фирма, занимающаяся выпуском металлоизделий, планирует производство двух видов продукции, например, оконных решеток и металлических дверей. Для выпуска этой продукции необходимы ресурсы четырех видов, например, металлический уголок двух видов (типоразмеров), пруток и листовой металл. Фирма располагает запасами ресурсов названных видов (правые части системы ограничений): 18 погонных метров уголка первого вида, 16 погонных метров уголка второго вида, 5 квадратных метров листового материала и 21 погонный метр прутка. Необходимо составить такой план выпуска продукции (количество решеток x₁ и дверей x₂) из имеющихся ресурсов, который обеспечил бы получение фирме максимальной выручки.

Неравенства системы ограничений отражают условия баланса ресурсов. Так, первое неравенство показывает, что количество уголка первого вида, пошедшего в производство, не может превышать его запаса (т.е. 18 погонных метров). Коэффициенты при переменных x₁ и x₂ имеют следующий смысл: 1 – количество погонных метров уголка первого вида, идущее на выпуск одной оконной решетки; 3 - количество погонных метров того же уголка для выпуска одной металлической двери. Сумма в левой части неравенства показывает затраты уголка на производство продукции обоих видов.

Значение целевой функции F равно выручке предприятия от реализации произведенной продукции. Коэффициенты при переменных имеют смысл: 2 (например, 2 тысячи рублей) – выручка от реализации одной решетки; 3 – выручка от реализации одной двери.

Рассмотрим алгоритм симплексного метода. Он включает следующие действия.

1. Преобразовать неравенства системы ограничений в уравнения введением дополнительных переменных.

2. Разбить переменные задачи на две группы: основные, значения которых больше или равны нулю; неосновные, значения которых строго равны нулю. Количество основных переменных должно быть равно числу уравнений системы. Эта процедура позволяет исключить из рассмотрения неосновные переменные и получить замкнутую систему уравнений, имеющую единственное решение.

3. Выразить основные переменные через неосновные и получить первоначальное базисное решение (базисным называется решение, удовлетворяющее системе ограничений и дополнительным условиям).

4. Получить выражение целевой функции через неосновные переменные. С использованием критерия оптимальности установить не является ли полученное базисное решение оптимальным. Если оно оптимально, остановить решение, если нет – продолжить. Для этого с использование выражения целевой функции через не основные переменные, установить какую из неосновных переменных можно перевести в основные и продолжить решение с новым набором переменных.

I шаг

Преобразуем неравенства системы ограничений в уравнения:

x₁ + 3x₂ + x₃ = 18,

2x₁+ x₂+ x₄= 16, (10)

x₂+ x₅ = 5,

3x₁+ x₆ = 21.

Полученная система состоит из 4-х уравнений и включает 6 переменных. Такая система имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения необходимо, чтобы число переменных в системе было равно числу уравнений. Разделим переменные задачи на основные и неосновные. С учетом того, что значения неосновных переменных равны нулю, такая процедура позволяет получить замкнутую систему уравнений, в которой содержатся только основные переменные.

При решении задачи на максимум целевой функции на первом шаге решения при выборе основных переменных можно воспользоваться правилом: в качестве основных переменных следует выбрать (если возможно) такие переменные, каждая из которых входит только в одно из уравнений системы ограничений, при этом нет таких уравнений системы, в которые не входила бы ни одна из этих переменных.

Этому правилу удовлетворяют дополнительные переменные x₃, x₄, x₅, x₆. В соответствии с этим переменные разделятся на две группы.

Основные переменные: x₃, x₄, x₅, x₆

Неосновные переменные: x₁, x₂.

Выразим основные переменные через неосновные из системы уравнений (10)

x₃ = 18 - x₁ - 3x₂,

x₄= 16 - 2x₁ - x₂,

x₅ = 5 - x₂, (11)

x₆ = 21 - 3x₁.

Положив не основные переменные равными нулю, т.е. x₁ = 0, x₂ = 0, получим базисное решение Х₁ = (0; 0; 18; 16; 5; 21), которое соответствует вершине О(0; 0) многогранника допустимых решений на рис. 3. В связи с тем, что решение является допустимым, оно может быть и оптимальным. Выразим целевую функцию через неосновные переменные. Правило выбора основных переменных на первом шаге решения обеспечивает первоначальное выражение целевой функции F =2x₁ + 3x. Значение целевой функции в этом случае равно нулю.

Далее необходимо установить возможность увеличения значения целевой функции путем перевода одной из неосновных переменных в разряд основных. Как видно из выражения целевой функции, перевод любой из неосновных переменных в основные может привести к увеличению значения F, т.к. коэффициенты при этих переменных положительны. Возникает вопрос, какую из двух переменных следует переводить в основные. Можно высказать предположение (но не более того), что перевод переменной x₂ в основные приведет к более сильному увеличению значения F в связи с большим значением коэффициента при ней в выражении целевой функции. Этот перевод должен привести к получению нового базисного решения, в котором количество основных и неосновных переменных, так же как на первом шаге, должно быть равно 4 и 2 соответственно.

В связи с этим необходимо выяснить, какая из основных переменных должна перейти в разряд неосновных. Система (11) накладывает ограничения на значение переменной x₂, следующие из условия неотрицательности основных переменных. Преобразуем (5) с учетом того, что переменная x₁ по-прежнему остается неосновной, т.е. равной нулю.

x₃ = 18 - 3x₂  0,

x₄= 16 - x₂  0,

x₅ = 5 - x₂  0,

x₆ = 21.

Отсюда следует: (x₂  6; x₂  16; x₂  5). Каждое уравнение системы (11), кроме последнего, определяет максимально возможное значение x₂, при котором значение соответствующей основной переменной остается неотрицательным. Последнее уравнение не накладывает ограничений на значение x₂, т.к. при любом значении переменной x₂ x₆ = 21, т.е. неотрицательно. Условно этот факт фиксируется записью x₂  .

Очевидно, что сохранение неотрицательности всех переменных возможно, если не нарушится ни одна из полученных во всех уравнениях границ. Отсюда следует, что x₂ = min (6; 16; 5; ) = 5. С учетом дополнительного условия (8) интервал допустимых значений включает 0  x₂  5. Однако мы заинтересованы в максимально возможном увеличении значения целевой функции, в связи с чем, выбираем наибольшее значение из указанного интервала, т.е. x₂ = 5. При этом значении переменная x₅ обращается в нуль и переходит в разряд неосновных. Третье уравнение системы (11), переводящее основную переменную в неосновные называется разрешающим и выделяется рамкой.

II шаг

Основные переменные: x₂; x₃; x₄; x₆.

Неосновные переменные: x₁; x₅.

Выразим основные переменные через неосновные, начиная с разрешающего уравнения

x₂ = 5 - x₅,

x₃ = 18 - x₁ - 3(5 - x₅), (12)

x₄ = 16 - 2x₁ - (5 - x₅),

x₆ = 21 - 3x₁.

После преобразования получим

x₂ = 5 - x₅,

x₃ = 18 – x₁ + 3x₅ (13)

x₄ = 11 - 2x₁ + x₅,

x₆= 21 - 3x₁.

Второе базисное решение Х₂ = (0; 5; 3; 11; 0; 21) является допустимым и соответствует вершине А (0; 5) многоугольника на рис. 3.

Выразив целевую функцию через неосновные переменные, получим

F =2x₁ + 3x₂ = 2x₁ + 3x₂ = 2x₁ + 3(5 - x₅) = 15 + 2x₁ - 3x₅.

Значение целевой функции F₂ = 15 не является максимальным, т.к. имеется возможность его увеличения переводом переменной x₁ в основные. Система уравнений (13) определяет наибольшее возможное значение x₁ = min(; 3; 11/2; ) = 3. Второе уравнение является разрешающим, а переменная x переходит в неосновные.

III шаг

Основные переменные: x₁, x₂, x₄, x₆.

Неосновные переменные: x₃, x₅.

Выражаем основные переменные через неосновные, начиная с разрешающего уравнения (из него выражается x₁). После преобразований получаем

x₁ = 3 - x₃ + 3x₅,

x₂ = 5 - x₅, (14)

x₄ = 5 + 2x₃ - 5x₅,

x₆ = 12 + 3x₃ - 9x₅.

Базисное решение Х₃ = (3; 5; 0; 5; 0; 12) соответствует вершине В (3; 5;). Выражаем целевую функцию через неосновные переменные:

F = 2x₁ + 3x ₂= 2(3 - x₃ + 3x₅) + 3(5 - x₅) = 21 - 2x₃ + 3x₅.

Третье базисное решение тоже не является оптимальным, т.к. при переменной x₅ в выражении целевой функции через неосновные переменные содержится положительный коэффициент. Переводим x₅ в основную переменную. При определении наибольшего возможного значения x₅ обратим внимание на первое уравнение системы (12), которое не накладывает ограничений на значение переменной. При любом неотрицательном значении x₅ переменная x₁ будет неотрицательна. Поэтому x₅ = min (; 5; 1; 12/9) = 1. Третье уравнение является разрешающим, а переменная x₄ переходит в неосновные.

IV шаг

Основные переменные: x₁, x₂, x₅, x₆.

Неосновные переменные: x₃, x₄.

После преобразований получим

x₁ = 6 + x₃ - x₄,

x₂ = 4 - x₃ + x₄,

x₅ = 1 + x₃ - x₄,

x₆ = 3 - x₃ + x₄.

Базисное решение Х₄ = (6; 4; 0; 0; 1; 3) соответствует вершине С (6; 4). Целевая функция, выраженная через неосновные переменные, имеет вид: F = 24 - x₃ - x₄. Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение F₄ = F(Х₄) = 24 максимально.

Полученное решение является оптимальным решением задачи. Оно показывает, что максимальная прибыль, полученная от реализации произведенной продукции, составляет 24 денежные единицы, объем продукции 1-го вида – 6 единиц, продукции 2-го вида – 4 единицы. Дополнительные переменные x₃, x₄, x₅, x₆ показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, т.е. остатки ресурсов. При оптимальном плане производства x₃ = x₄ = 0, т.е. ресурсы первого и второго видов израсходованы полностью, а ресурсы третьего и четвертого видов имеют остатки, равные соответственно 1 и 3 единицам.

Приведенное решение позволяет сформулировать критерий оптимальности решения при отыскании максимума целевой функции: если в выражении целевой функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.