Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5111 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ярославская Государственная Сельскохозяйственная Академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Курсовая работа по ТОЭ

.pdf
Скачиваний:
204
Добавлен:
15.05.2015
Размер:
3.24 Mб
Скачать
☆

Приведем в комплексный вид значения ЭДС и тока, генерируемых источниками энергии цепи:

 

 

 

 

 

E2 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2 m

 

cos

 

j sin

 

 

9

cos 0

 

E

2

2

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j sin 0 6,364

В.

E

 

 

8

cos 0,5

j sin 0,5 j 5,657

 

7

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

В;

J

 

 

0,7

cos 0,3

j sin 0,3 0,291

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 0,400

А.

Найдем в комплексном виде полные сопротивления ветвей цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

j 10,610 Ом;

Z2

j xC

j

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

100 300 10

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

R

 

j x

 

x

R

 

 

L

 

1

 

 

 

 

 

 

3

j

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

C

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 j

 

 

 

 

 

10 3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

7,000 j 5,513

 

 

 

100 50

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100 150 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z4 R4

10,000 Ом;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ом;

Z8 R8 j xL8 R8 j L3 8 j 100 20 10 3 8,000 j 6,283 Ом,

откуда

 

 

Z8 0,185

j 5,028 В.

E10

J10

Найдем собственные сопротивления контуров:

 

 

 

Z

Z

2

Z

3

Z

8

15,000 j 9,840

 

 

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

Z2,2 Z3

Z4

17,000 j 5,513 Ом.

Найдем взаимное сопротивление контуров:

Ом;

Z

Z

2,1

Z

3

7,000

1,2

 

 

 

j 5,513

Ом.

Найдем контурные ЭДС:

EI E2

E10 6,549 j 5,028 В;

 

 

 

EII E7 j 5,657 В.

 

 

 

Найдем связь между контурными токами и токами в ветвях цепи:

I1

I I ;

I2

I II I I

 

 

 

 

 

Запишем систему контурных уравнений:

I3 I II .

Z

 

I

 

 

Z

 

 

I

 

 

E

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1

 

I

 

1,2

 

II

 

I

 

Z

 

I

 

Z

 

I

 

E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,1

 

 

I

 

 

2,2

 

 

II

 

 

II

Подставим в систему уравнений значения параметров цепи, представленные в комплексном виде, и разрешим полученную систему относительно контурных токов. Значения найденных токов:

I

 

0,593

 

 

 

I

 

j 0,322

А;

I

 

0,320

 

 

 

II

 

j 0,554

А.

Тогда искомые токи в ветвях цепи равны:

I

0,593 j 0,322 А;

I

0,273 j 0,232 А;

1

 

2

 

I

 

0,320

 

 

 

3

 

j 0,554

А.

Теперь найдем ток, протекающий по ветви с комплексным сопротивлением Z8 (см. рисунок 9, б). Для этого осуществим обратное эквивалентное преоб-

разование –

заменим источник ЭДС

 

эквивалентным источником тока

E10

 

 

Z8

(см. рисунок 9, в). Составим в соответствии с первым правилом

J10

E10

Кирхгофа (и в соответствии с выбранными положительными направлениями токов; см. рисунки 9, б, в, г) уравнение для узла a:

откуда

 

 

I

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

I

 

I

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

 

10

J10 0

,

 

 

0,884

j 0,078

А.

Составим уравнение баланса мощностей (см.

E

 

I

 

E

I

 

J

 

 

 

 

 

Z

 

I

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

a

 

 

2

 

 

 

2

 

1

7

 

3

 

10

 

 

 

 

2

 

1

 

3

где

 

b a Z8

I4

(см. рисунок 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рисунок 9, б):

I

 

Z

 

I

 

Z

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

4

 

3

 

8

в).

I 2 4

,

Подставив в данное уравнение параметры цепи и значения найденных токов, окончательно получим:

0,084 j 0,572 ВА 0,077

j

0,565 ВА

.

Значения токов верны.

Допустимое расхождение (1,4%) между мощностями источников энергии и потребителей объясняется конечной точностью округления при расчетах.

Таким образом, активная, реактивная и полная мощности рассматриваемой цепи соответственно равны:

P 0,08 Вт;

Q 0,57

ВАр;

S P2 Q2 0,58 ВА.

Действующие значения найденных токов соответственно равны:

 

 

 

 

 

I1

0,5932 0,322 2

0,675 А;

I2

0,358 А;

I3 0,640 А;

 

I4

0,887 А.

Теперь найдем выражения для мгновенных значений токов:

i1 (t) 2 I1 sin 100 t 1 А, где

 

 

arctg

0,322

0,497 рад 0,16

 

1

0,593

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рад

;

U

U

C2

C3

i1 (t) 0,95sin 100 t 0,16 А;

i2 (t) 0,51sin 100 t 0,78 А;

i3 (t) 0,91sin 100 t 0,67 А;

i4 (t) 1,25sin 100 t 0,97 А.

Найдем падения напряжений на пассивных элементах цепи:

X C

I1

3,416 j 6,292 В,

uC

10,13sin 100 t 0,66 В;

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

X C

I2

4,923 j 5,793 В,

uL

10,75sin 100 t 0,72 В;

3

 

 

4

 

U

 

X

 

I

 

3,644

 

L

 

L

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

3

 

 

 

j 4,288

В,

uL3

7,96sin 100 t 0,28

В;

U

 

R

I

 

1,911

 

R

 

 

 

 

3

 

2

 

 

3

 

 

 

 

j 1,624

В,

uR3

3,55sin 100 t 0,78

В;

Рисунок 10 – Полярная векторная диаграмма узла цепи синусоидального тока (пример 3)

U R

R4

I3

3,200 j 5,540 В,

 

 

 

 

4

R8

I4

8,840 j 0,780 В,

U R

 

 

 

 

8

X L

I4 0,490 j 5,554 В,

U L

 

 

 

 

8

8

 

uR

9,05sin 100 t 0,67 В;

4

 

uR

12,55sin 100 t 0,97 В;

8

 

uL

7,89sin 100 t 0,47 В.

3

 

Действующие значения падения напряжений на пассивных элементах цепи соответственно равны:

UC2

7,16 U

В;

R

 

4

 

U 6,40

C

 

3

 

В;

7,60 U

В;

R

 

8

 

U 8,87

L

 

3

 

В;

5,63 U

В;

L

 

8

 

U 5,58

R

2,51

3

 

В.

В;

Построим полярную векторную диаграмму токов для произвольно выбранного нами узла схемы рисунка 8 г, а именно для верхнего узла, в который втекают токи I1 , I 2 , I3 .

Полярная диаграмма строится на комплексной плоскости с соблюдением выбранного масштаба (рисунок 10).

Несложно видеть, что на построенной нами диаграмме геометрическая

сумма векторов комплексных токов правильность решения задачи.

I1

,

I 2

и

I3

 

 

равна нулю, что подтверждает

Пример 4. Решим типовую задачу из задания № 2. Рассчитываемая электрическая цепь представлена на рисунке 1. Параметры рассчитываемой цепи возьмем из таблицы 2 (см. предпоследнюю строчку таблицы).

Следуя указаниям к выполнению задания № 2, заменим соединительными проводами с нулевым сопротивлением элементы цепи R2, R3, R7, R11, R12, C2, C3, C4, C6, C11, L3, L6, L7, L11, i10, e2, e11 (в соответствующих столбцах в таблице 2 значения этих параметров равно «0»). Также, следуя указаниям к выполнению задания № 2, включим в ветвь, в которой присутствует элемент i5, обрыв цепи (в соответствующем столбце в таблице 2 приведен символ «–»; рисунок 11, а). Представим схему рисунка 11, а в расчетном виде (в виде схемы замещения; рисунок 11, б). Здесь (в соответствии с таблицей 2):

R4

12

Ом;

R6

15

Ом;

C7 180 мкФ;

C12 125 мкФ;

L4

25

мГн;

L8

40

мГн;

i1 (t) 1,0 sin 100 t 0,7 А; e3 (t) 6,5 sin 100 t 0,2 В;

e8 (t) 10,0 sin 100 t

R8 8 Ом;

L2 30 мГн;

L12 15 мГн;

i9 (t) 0,5 sin 100 t 0,4 А; e7 (t) 14,0 sin 100 t 0,5 В;

0,8 В.

Найдем искомые гармонические токи в ветвях цепи методом узловых потенциалов, используя символическое (в комплексном виде) представление синусоидальных величин.

Рисунок 11 – К расчету типовой задачи на нахождение токов в цепи однофазного синусоидального тока методом узловых потенциалов (пример 4)

Представленная на рисунке 11, б цепь содержит четыре узла. Однако одна

из ветвей содержит идеальный источник ЭДС

E

 

 

3

 

. В соответствии с известной

методикой (см., например, [2], [3]) осуществим эквивалентное преобразование

– перенесем источник E3 из третьей ветви в шестую и седьмую (рисунок 11, в).

Таким образом, ветвь, в которой находился источник ЭДС

E

 

 

3

 

, выродилась в

узел, а цепь превратилась в трехузловую.

При расчете цепи будем округлять найденные значения параметров цепи с точностью до четырех цифр после запятой, в противном случае погрешность вычислений, связанная с округлениями найденных значений величин, будет слишком большой.

Приведем в комплексный вид значения ЭДС и тока источников энергии

цепи:

J1 1,02 cos 0,7 j sin 0,7 0,4156 j 0,5721 А;

J

 

 

0,5

cos 0,4

j sin 0,4 0,1093

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 0,3362

А;

E

 

 

6,5

cos 0,2

j sin 0,2

3,7184

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2,7016

В;

E

 

 

14,0

cos 0,5

 

 

7

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

j sin 0,5

j 9,8995

В;

E

 

10,0

cos 0,8

j sin 0,8 5,7206

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

j 4,1563

В.

Найдем в комплексном виде полные сопротивления ветвей цепи:

Z2

X L

j 100 30 10

3

 

j 9,4248

Ом;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

R

X

 

12,0000

j 100 25 10

3

12,0000

 

4

L

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z6

R6

15,0000

Ом;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

j 17,6839 Ом;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z7

X C7

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

100 180 10

 

 

 

 

 

 

 

j 7,8540

Ом;

Z

 

R

X

 

8,0000 j 100 40 10

3

8,0000

 

8

L

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

j 12,5664

Ом;

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

j 20,7524 Ом.

Z12 X L12

X C12

 

15

10

 

 

 

 

 

6

j 100

 

100 125 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осуществим еще одно эквивалентное преобразование (см. пример 3), а

именно: заменим источник тока

J1 эквивалентным источником ЭДС

E1

J1 Z2

 

 

 

 

(см. рисунок 11, в). Таким образом, мы перейдем от трехузловой цепи к двухузловой (рисунок 12), где

E J

 

Z

 

5,3919

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

j 3,9169

В.

Потенциал узла, в который выродилась цепь с источником ЭДС

E

 

 

3

 

, по-

считаем равным нулю (заземлим его и обозначим цифрой «0»). Оставшийся незаземленным узел обозначим цифрой «1». Расставим произвольно токи в ветвях цепи (см. рисунок 12).

Рисунок 12 – К расчету типовой задачи на нахождение токов в цепи однофазного синусоидального тока методом узловых потенциалов (пример 4)

Найдем собственную проводимость незаземленного узла цепи:

Y

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

1

0,1337

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1

Z

 

Z

 

Z

 

Z

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

2

6

4

7

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

j 0,0025

Ом-1.

Найдем узловой ток незаземленного узла:

 

 

 

E

E

 

E

E

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,3489

 

 

3

 

1

 

3

 

7

 

8

 

J

I

Z

 

Z

 

Z

 

Z

 

Z

 

J

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

 

4

7

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 0,3369

А.

Так как незаземленным остался единственный узел, для нахождения токов в цепи осталось найти лишь один потенциал 1 . Составим узловое уравне-

ние относительно искомого потенциала:

 

 

 

 

Y

 

J

 

 

 

 

 

1,1

1

 

 

I

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

0,3489 j 0,3369

 

I

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Y1,1

 

0,1337 j 0,0025

 

 

 

 

 

 

 

,

2,5616 j 2,5677 В.

В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи найдем токи в ветвях:

 

 

 

 

 

 

E

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1641

 

1

 

0

1

 

3

I

1

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 0,1669

А;

 

 

 

 

 

 

E

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0967

 

 

0

 

1

3

 

7

I

2

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 0,7569

А;

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

1

 

0

 

0,0822

 

 

8

I

3

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

j 0,7114

А;

 

 

 

 

0

0,1237

 

1

 

I

4

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

j 0,1234

А.

 

(см. рисунок 11, б),

Найдем ток I1 , протекающий через сопротивление Z2

т.е. до эквивалентного преобразования – замены источника тока

J1

эквивалент-

 

 

 

 

 

 

 

 

ным источником ЭДС E1 :

 

 

 

I I

 

J

 

0,2515

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

j 0,4052

А.

Составим уравнение баланса мощностей для рассчитываемой цепи (см. рисунок 12). Следует отметить, что для исходной схемы, т.е. до эквивалентных преобразований в ней (см. рисунок 11, б) составить уравнение баланса мощностей не представляется возможным, т.к. мощность идеального источника ЭДС

E

 

 

3

 

 

E

 

1

стремиться к бесконечности. Таким образом, получим:

E

I

 

E

E

I

 

E

I

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

3

7

 

2

8

 

3

 

 

9

 

 

0

 

1

Z

 

Z

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

1

 

4

 

7

 

2

Z

 

I

 

 

2

 

8

3

Z12

I 2 4

.

Подставив в данное уравнение параметры цепи и значения найденных токов, окончательно получим:

13,560 j 0,745 ВА 13,563 j 0,745 ВА . Значения токов верны.

Незначительное расхождение левой и правой частей уравнения баланса мощностей объясняется конечной точностью округления при расчетах.

Т.к. действительная часть найденных комплексных мощностей цепи (следовательно, активная мощность) не может быть отрицательна (не имеет физического смысла), домножим обе части уравнения баланса мощностей на «– 1».

Таким образом, активная, реактивная и полная мощности рассматриваемой цепи соответственно равны:

P 13,56

Вт;

Q 0,75 ВАр;

S

P

2

Q

2

 

 

 

13,58

ВА.

Найденная реактивная мощность цепи положительна, что говорит об индуктивном характере нагрузки цепи.

Действующие значения найденных токов соответственно равны:

 

0,477 А;

I1 0,234 А;

I2 0,763 А;

I3 0,716 А;

I4 0,175 А.

I1

Рисунок 13 – Полярная векторная диаграмма узла цепи синусоидального тока (пример 4)

Теперь найдем выражения для мгновенных значений токов:

i (t)

2 I sin 100 t

1

1

1

, где

 

arctg

0,4052

1,015 рад 0,32

 

 

1

 

0,2515

 

 

 

 

 

 

рад

;

Таким образом:

i (t) 0,67 sin 100 t 0,32 А;

1

i

(t) 0,33sin 100 t 0,75

1

 

А;

i2 (t) 1,08sin 100 t 0,54 А;

i3 (t) 1,01sin 100 t 0,46 А;

i4 (t) 0,25sin 100 t 0,75 А.

Найдем падения напряжений на пассивных элементах цепи:

U

U

L2

L4

X L

 

3,819 j 2,370

В,

I1

 

 

 

 

2

 

 

 

X L4 I2 5,945 j 0,759 В,

u u

L2 L4

6,36sin 100 t 0,82 В;

8,48sin 100 t 0,96 В;

U R

R4

I2

1,160 j 9,083 В,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

R6

I1

2,462 j 2,504

 

U R

В,

 

 

 

 

 

 

 

6

X C

I2 13,385 j 1,710

 

 

UC

В,

 

 

 

 

 

 

 

7

R8

7

 

 

 

 

U R

I3

0,658 j 5,691 В,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

X L

 

I3 8,940 j 1,033

 

 

U L

 

В,

 

 

 

 

 

 

 

 

8

8

 

 

 

 

uR

12,95sin 100 t 0,54 В;

4

 

uR

4,97sin 100 t 0,75 В;

6

 

uC

19,08sin 100 t 0,04 В;

7

 

uR

8,10sin 100 t 0,46 В;

8

 

uL

12,73sin 100 t 0,96 В;

4

 

U U

L12

C12

X L

I4

0,582

j 0,583 В,

 

 

 

 

12

I4

 

 

X C

3,142

j 3,150 В,

 

 

 

 

12

 

 

 

Действующие значения падений

uL

1,17sin 100 t 0,25 В;

12

 

uC

6,29sin 100 t 0,75 В.

12

 

напряжений, соответственно, равны:

U L2

4,49

В;

U

R

 

 

8

 

U 5,73

L

 

4

 

В;

5,99

В;

U

L

 

 

8

 

U 9,00

R

 

4

 

В;

9,16 U

В;

L

 

12

 

U

R

 

 

 

6

 

0,83

В;

3,51 U

В;

C12

UC74,45

13,49

В.

В;

Построим полярную векторную диаграмму токов для произвольно выбранного нами узла схемы рисунка 12, а именно: для заземленного узла, для которого в соответствии с первым правилом Кирхгофа можно составить узловое уравнение:

I

 

I

 

I

 

I

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

4

J

 

 

9

 

0

.

Полярная диаграмма строится на комплексной плоскости с соблюдением выбранного масштаба (рисунок 13).

Несложно видеть, что на построенной нами диаграмме (см. рисунок 13)

геометрическая сумма векторов комплексных токов

I1

,

I3

,

I 4

и

J

9

 

 

 

, втекающих

в узел, равна вектору комплексного тока решения задачи.

I 2

, что подтверждает правильность

3.3 Расчет электрических цепей трехфазного тока

Пример 5. Решим типовую задачу из задания № 3. Рассчитываемая электрическая цепь представлена на рисунке 2, б. Параметры рассчитываемой цепи постоянного тока возьмем из таблицы 3 (см. последнюю строчку таблицы).

Следуя указаниям к выполнению задания № 3, заменим соединительными проводами с нулевым сопротивлением элементы цепи Rb и Ca (в соответству-

ющих столбцах в таблице 3 значения этих параметров равны «0»). Полученная схема представлена на рисунке 14, а.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности