Курсовая работа по ТОЭ
.pdf
I1
Составим систему уравнений относительно узловых потенциалов:
g |
1,1 |
|
g |
1,2 |
|
2 |
J |
I |
, |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
g |
|
|
g |
|
|
|
J |
|
. |
|||||
|
2,1 |
2,2 |
2 |
II |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решим полученную систему уравнений определительным методом:
|
|
1,083 |
0,500 |
|
0,601; |
|
||
|
0,500 |
|
0,786 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1,925 |
0,500 |
0,434 |
; |
||
|
2,157 |
|
0,786 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1,083 |
|
1,925 |
1,374 . |
|
|
|
0,500 |
2,157 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
1 |
0,722 |
В; |
|
2 |
2 2,286 В. |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наконец, в соответствии с законом Ома найдем токи в ветвях:
J1 0,300 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
E |
2 |
0,504 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
E |
0,204 |
|||||
А; |
I2 |
|
1 |
|
|
А; |
I3 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
E |
0,445 А; |
I |
|
|
|
|
|
0,241 |
А. |
|
|||||||||||
4 |
1 |
|
0 |
|
|
8 |
5 |
|
0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А;
(Токи I2 и I3 протекают в противоположном ранее выбранному направ-
лению).
Составим уравнение баланса мощностей для рассчитываемой цепи:
( 2 1 ) J1 E2 |
I2 E3 I3 E8 I4 R2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
I2 |
R3 I3 |
R8 I4 |
R12 I5 . |
Подставив в данное уравнение параметры цепи и значения найденных токов, окончательно получим:
1,62 Вт 1,62 Вт .
Таким образом, найденные значения токов верны; в цепи (см. рисунок 3) источниками энергии ежесекундно выделяется и, соответственно, резисторами потребляется 1,62 Дж энергии.
Найдем падения напряжений на всех пассивных элементах цепи:
U R2 R2 I2 1,01 В;
U R8 R8 I4 1,78 В;
U
U
R3
R12
R3 I3 0,71
R12 I5 0,72
В;
В.
Теперь построим потенциальную диаграмму для независимого контура рассчитываемой цепи, содержащего наибольшее количество элементов (рисунок 4).
Используя закон Ома для замкнутой цепи, найдем ток, протекающий по выбранному контуру (независимо от токов, протекающих по соседним контурам, и токов, протекающих по отдельным ветвям данного контура):
IE2 E3 E8
R2 R3 R8
0,368
А.
Рисунок 4 – Контур цепи постоянного тока (к построению потенциальной диаграммы (пример 1)
Рисунок 5 – Потенциальная диаграмма независимого контура цепи постоянного тока (пример 1)
Произвольно выберем точку в рассматриваемом контуре, потенциал которой приравняем нулю ( a 0; см. рисунок 4). Теперь найдем потенциалы то-
чек, находящихся на концах элементов рассматриваемого контура цепи (см. рисунок 4), относительно потенциала заземленного участка:
b
df
a
c
e
E8
R2
E3
2,50 В;
I 0,29 |
В; |
1,29 В; |
|
c
eg
b
d
f
R8 I 1,03 В;
E2 |
1,71 |
В; |
R3 |
I 0 |
В. |
И окончательно по найденным значениям потенциалов точек контура построим потенциальную диаграмму (рисунок 5).
Пример 2. Решим типовую задачу из задания № 1. Рассчитываемая электрическая цепь представлена на рисунке 1. Параметры рассчитываемой цепи постоянного тока возьмем из таблицы 1 (см. нижнюю строчку таблицы).
Следуя указаниям к выполнению задания № 1, заменим соединительными проводами с нулевым сопротивлением элементы цепи R6, J5m, J9m, J10m, E8m (в соответствующих столбцах в таблице 1 значения этих параметров равны «0»), L2, L3, L4, L6, L7, L8, L11, L12 (идеальные индуктивные элементы в цепях постоянного тока также заменяют соединительными проводами с нулевым сопротивлением) и C2, C3, C6, C7, C11, C12 (в соответствующих столбцах в таблице 1 вместо значений этих параметров приведен символ «–»). Также, следуя указаниям к выполнению задания № 1, включим в ветви, в которых присутствуют элементы R4, J1m, C4, обрывы цепи (в соответствующих столбцах в таблице 1 вместо значений этих параметров приведены символы « », «–» и «+»; рисунок 6, а). Представим схему рисунка 6, а в более наглядном виде (рисунок 6, б).
Найдем токи, протекающие по электрической цепи рисунка 6, б. В соот-
ветствии с таблицей 1 параметры цепи: R2 |
3,5 |
Ом; R3 5,5 |
Ом; R7 3,0 Ом; |
||||||||||
R 5,0 |
Ом; R |
4,5 Ом; |
R 4,0 |
Ом; |
E |
2m |
E |
2 |
6,0 |
В; |
E |
E |
8,5 В; |
8 |
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
3m |
3 |
|
||
E7 m E7 |
7,0 В; |
E11m E11 |
9,0 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для расчета четырехконтурной электрической цепи (см. рисунок 6, б) воспользуемся методом контурных токов (см., например, [1], [2]).
Рассчитываемая цепь (рисунок 6, в) состоит из семи ветвей, по которым протекает шесть токов (в ветви, в которой присутствовал источник тока J9, ток не течет, так как ветвь не содержит элементов электрической цепи, т.е. данная ветвь вырождена в узел).
Выберем произвольно положительные направления токов в ветвях цепи (см. рисунок 6, в) и направления контурных токов (для единообразия все контурные токи направлены в одну сторону – по часовой стрелке).
Найдем собственные сопротивления контуров:
R1,1 R2 |
R3 R8 14 Ом; |
R2,2 |
R3 R7 8,5 Ом; |
R3,3 R8 |
R12 9 Ом; |
R4,4 |
R11 R12 8,5 Ом. |
Рисунок 6 – К расчету типовой задачи на нахождение токов в цепи постоянного тока методом контурных токов (пример 2)
EI
Найдем взаимные сопротивления контуров:
R1,2 |
R2,1 |
R3 5,5 |
Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
R2,3 |
R3,2 |
0 |
Ом; |
|
|||||||||||||||||
R3,4 |
R4,3 |
R12 4 Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
R1,3 |
R3,1 |
R8 5 |
Ом; |
|||||||||||||||||||
R1,4 |
R4,1 |
0 |
Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2,4 |
R4,2 |
0 |
Ом. |
|
|||||||||||||
Найдем контурные ЭДС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E2 E3 |
2,5 |
В; |
EII E3 |
E7 |
1,5 В; |
EIII |
0 |
В; |
|
|
EIV E11 9 |
|||||||||||||||||||||
Найдем связь между контурными токами и токами в ветвях цепи: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
I1 I I ; |
|
I 2 |
I I |
I II ; |
|
I3 |
I II ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
I 4 I III I I ; |
|
|
I5 IIV |
; |
|
|
I6 |
IIV |
IIII . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Составим систему уравнений относительно контурных токов: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
I |
I |
R |
|
I |
II |
R |
|
I |
III |
R |
|
I |
IV |
E |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
1,1 |
|
1,2 |
|
1,3 |
|
|
|
1,4 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
R2,1 |
I I |
R2,2 |
I II |
R2,3 |
I III |
R2,4 |
I IV |
EII ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
I |
|
R |
|
I |
|
R |
|
|
I |
|
|
R |
|
|
I |
|
|
E |
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
I |
|
II |
|
|
III |
|
|
IV |
III |
|
|
||||||||||||||||||
|
3,1 |
|
3,2 |
|
|
3,3 |
|
|
|
|
3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R |
4,1 |
I |
I |
R |
4,2 |
I |
II |
R |
4,3 |
I |
III |
R |
4,4 |
I |
IV |
E |
IV |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В.
Решим систему уравнений определительным методом:
|
14,0 |
5,5 |
5,0 |
0,0 |
|
14,0 |
5,5 |
0,0 |
|
|
5,5 |
8,5 |
0,0 |
0,0 |
|
|
|||
|
4 ( 1)4 3 |
5,5 |
8,5 |
0,0 |
|
||||
|
5,0 |
0,0 |
9,0 |
4,0 |
|
5,0 |
0,0 |
4,0 |
|
|
0,0 |
0,0 |
4,0 |
8,5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
5,5 |
5,0 |
|
8,5 ( 1) |
4 4 |
|
5,5 |
8,5 |
0,0 |
4 476 121 8,5 1071 212,5 272,25 |
|
||||||
|
|
|
5,0 |
0,0 |
9,0 |
|
4 355 8,5 586,25
3563,125
.
|
|
|
2,5 |
5,5 |
5,0 |
0,0 |
2,5 |
5,5 |
0,0 |
|
|
|
|
1,5 |
8,5 |
0,0 |
0,0 |
||||
|
1 |
|
9 ( 1)3 3 1,5 |
8,5 |
0,0 |
|||||
|
|
0,0 |
0,0 |
9,0 |
4,0 |
|
|
|
||
|
|
|
9,0 |
0,0 |
8,5 |
|||||
|
|
|
9,0 |
0,0 |
4,0 |
8,5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2,5 |
5,5 |
5,0 |
|
|
||
4 ( 1)3 4 |
1,5 |
|
8,5 |
0,0 9 180,625 ( 70,125) |
||||||
|
|
|
|
|
9,0 |
|
0,0 |
4,0 |
|
|
4 85 ( 382,5) 33 9 ( 110,5) 4 434,5 743,5 .
|
|
|
14,0 |
2,5 |
5,0 |
0,0 |
|
|
|
2,5 |
5,0 |
0,0 |
|
|
|
|
5,5 |
1,5 |
0,0 |
0,0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
5,5 ( 1) |
2 1 |
|
0,0 |
9,0 |
4,0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
5,0 |
0,0 |
9,0 |
4,0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
9,0 |
4,0 |
8,5 |
|
||||
|
|
|
0,0 |
9,0 |
4,0 |
8,5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,0 |
5,0 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
1,5 ( 1) |
2 2 |
|
5,0 |
9,0 |
4,0 |
5,5 191,25 180 ( 40) |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,0 |
4,0 |
8,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 1071 212,5 224 5,5 28,75 1,5 634,5 1109,875. |
|||||||
|
|
|
14,0 |
5,5 |
2,5 |
0,0 |
|
|
|
14,0 |
5,5 |
0,0 |
||
|
|
|
5,5 |
|
8,5 |
1,5 |
0,0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
9 ( 1) |
4 3 |
5,5 |
8,5 |
0,0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
5,0 |
|
0,0 |
0,0 |
4,0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
0,0 |
4,0 |
|||||
|
|
|
0,0 |
|
0,0 |
9,0 |
8,5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
14,0 |
5,5 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
8,5 ( 1)4 4 |
|
5,5 |
8,5 |
1,5 |
9 476 121 8,5 41,25 106,25 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
0,0 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
9 355 8,5 ( 65)
2642,5
.
|
|
|
14,0 |
5,5 |
5,0 |
2,5 |
|
14,0 |
5,5 |
2,5 |
|
|
|
5,5 |
8,5 |
0,0 |
1,5 |
|
|||
|
4 |
|
4 ( 1)4 3 |
5,5 |
8,5 |
1,5 |
||||
|
|
5,0 |
0,0 |
9,0 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
0,0 |
0,0 |
||||
|
|
|
0,0 |
0,0 |
4,0 |
9,0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,0 |
5,5 |
5,0 |
|
9 ( 1) |
4 4 |
|
5,5 |
8,5 |
0,0 |
4 41,25 106,25 9 1071 212,5 272,25 |
|
||||||
|
|
|
5,0 |
0,0 |
9,0 |
|
I I |
|
|
743,5 |
0,209 |
|
|
1 |
|
А; |
||||
|
3563,125 |
|||||
|
|
|
|
I |
|
3 |
|
2642,5 |
0,742 А; |
III |
|
||||
|
|
|
3563,125 |
||
|
|
|
|||
Наконец, найдем токи в ветвях:
I1 II 0,209 А;
I3 III 0,311 А; I5 IIV 1,408 А;
|
|
|
|
|
4 ( 65) 9 586,25 5016,25. |
|||||
I II |
|
|
2 |
|
1109,875 |
0,311 |
А; |
|||
|
|
|
||||||||
|
3563,125 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
I |
|
4 |
|
5016,25 |
1,408 . |
|||||
IV |
|
|||||||||
|
|
|
|
3563,125 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
I2 II |
III 0,102 А; |
|
||||||||
I4 IIII |
I I 0,533 А; |
|
||||||||
I6 IIV |
I III 0,666 А. |
|
||||||||
Составим уравнение баланса мощностей для рассчитываемой цепи:
E |
I |
E |
I |
2 |
E |
I |
3 |
E |
I |
5 |
|
2 |
1 |
3 |
|
7 |
|
11 |
|
|
R |
I |
2 |
R |
I |
2 |
R |
I |
2 |
R |
I |
2 |
R |
I |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
1 |
3 |
|
2 |
7 |
|
3 |
8 |
|
4 |
11 |
|
5 |
R12
I 2 6
.
Подставив в данное уравнение параметры цепи и значения найденных токов, окончательно получим:
6 0,209 8,5 ( 0,102) 7 ( 0,311) 9 1,408
3,5 0,209 |
2 |
|
2 |
2 |
5,5 0,102 |
3 0,311 |
5 0,5332
4,5 1,408 |
2 |
|
4
0,666 |
2 |
|
;
|
|
12,62 Вт 12,62 Вт . |
Найденные значения токов верны. |
|||||
|
Найдем падения напряжений на всех пассивных элементах цепи: |
|||||||
U R |
R2 |
I1 |
3,5 0,209 0,73 В; |
|
U R |
R3 |
I2 |
5,5 ( 0,102) 0,56 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
U R |
R7 |
I3 |
3 ( 0,311) 0,93 |
В; |
U R |
R8 |
I4 |
5 0,533 2,67 В; |
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
U R |
R11 I5 4,5 1,408 6,34 В; |
|
U R |
R12 I6 4 0,666 2,66 В. |
||||
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
В;
Теперь построим потенциальную диаграмму для независимого контура рассчитываемой цепи, содержащего наибольшее количество элементов (контур I; рисунок 7).
Используя закон Ома для замкнутой цепи, найдем ток, протекающий по выбранному контуру:
I |
E |
E |
2 |
0,179 |
||
|
3 |
|
|
|||
|
R |
R |
||||
R |
|
|
||||
2 |
|
3 |
|
8 |
|
|
А.
Рисунок 7 – Контур цепи постоянного тока (к построению потенциальной диаграммы (пример 2)
Произвольно выберем точку в рассматриваемом контуре, потенциал которой приравняем нулю ( a 0; см. рисунок 7). Теперь найдем потенциалы то-
чек, находящихся на концах элементов рассматриваемого контура цепи (см. рисунок 7), относительно потенциала заземленного участка:
b a R3 |
I 0,98 |
В; |
c |
b E3 |
7,52 В; |
d c E2 |
1,52 В; |
|
e |
d R2 |
I 0,89 В; |
f |
e R8 |
I a 0,01 |
В 0 В. |
|
|
(Небольшое расхождение между потенциалами f |
и |
a |
объясняется конечной |
точностью округления при расчетах).
И окончательно по найденным значениям потенциалов точек контура построим потенциальную диаграмму (рисунок 8).
Следует отметить, что применение метода контурных токов для расчета данной цепи не является оптимальным. Для расчета электрической цепи, изображенной на рисунке 6, б, лучше использовать метод узловых потенциалов. В этом случае система уравнений сократится, и будет состоять из трех узловых уравнений.
Рисунок 8 – Потенциальная диаграмма независимого контура цепи постоянного тока (пример 2)
Таким образом, при расчете электрических цепей важно грамотно выбрать метод расчета. В частности, метод контурных токов целесообразно применять для расчетов таких цепей, у которых число независимых контуров не превышает число узлов. Если число независимых узлов в схеме цепи меньше числа независимых контуров, то для ее расчета целесообразно использовать метод узловых потенциалов.
3.2 Расчет электрических цепей синусоидального тока
Пример 3. Решим типовую задачу из задания № 2. Рассчитываемая обобщенная электрическая цепь представлена на рисунке 1. Параметры рассчитываемой цепи синусоидального тока возьмем из таблицы 2 (см. третью снизу строчку таблицы).
Следуя указаниям к выполнению задания № 2, заменим соединительными проводами с нулевым сопротивлением элементы цепи R2, R6, R7, R11, C4, C6, C7,
C11, C12, L2, L4, L6, L7, L11, L12, i9, e3, e8, e11 (в соответствующих столбцах в таблице 2 значения этих параметров равны «0»). Также, следуя указаниям к выпол-
нению задания № 2, включим в ветви, в которых присутствуют элементы R12, i1, i5, обрыв цепи (в соответствующих столбцах в таблице 2 вместо значений R12, J2m, J5m, приведены символы « » и «–»; рисунок 9, а). Представим схему рисунка 9, а в расчетном виде (в виде схемы замещения; рисунок 9, б).
Найдем токи, протекающие по электрической цепи рисунка 9, б. Здесь (в соответствии с таблицей 2):
R |
|
|
3 |
|
|
R |
|
|
4 |
|
|
R |
|
|
8 |
|
|
e |
(t) |
|
2 |
|
|
7 Ом;
10 Ом;
8 Ом;9 sin100 t
В;
C2 |
300 |
мкФ; |
L3 |
50 |
|
C3 |
150 |
мкФ; |
L8 |
20 |
|
i10 |
(t) 0,7 sin 100 t 0,3 А; |
||||
e7 |
(t) 8 sin 100 t 0,5 |
В. |
|||
мГн;
мГн;
Найдем искомые sin-токи в ветвях цепи методом контурных токов, используя символическое (в комплексном виде) представление синусоидальных величин.
Но прежде чем перейти к расчету цепи, осуществим общеупотребительное эквивалентное преобразование, которое существенно упростит схему за-
мещения,
E |
J |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
– |
заменим источник тока J10 эквивалентным источником ЭДС |
Z8 |
(рисунок 9, в). Мы перейдем от трехконтурной цепи к двухкон- |
турной (рисунок 9, г), что, несомненно, упростит вычисление токов.
Расставим произвольно токи в ветвях цепи (следует обратить внимание, что выбранные направления в силу переменности направлений sin-токов абсолютно условны; фиксируются положительные направления токов в некоторый произвольный момент времени). Затем (опять же произвольно) выберем поло-
жительные направления контурных токов (в нашем случае контурные токи I I и I II направлены по часовой стрелке; см. рисунок 9, г).
Рисунок 9 – К расчету типовой задачи на нахождение токов в цепи однофазного синусоидального тока методом контурных токов (пример 3)