
Материалы III семестра / Teoria_elektrichesky_tsepey_Neyman_2ch
.pdf

244 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
сти. Таким образом, выполненная в настоящем параграфе проверка показывает, что рассматриваемая функция F(p) не имеет нулей и полюсов в правой полуплоскости.
15.7. Синтез входной функции двухполюсника в общем случае. Проверка условия положительности функции Re [F(p)] 0 ïðè Re (p) 0
Проверим другое условие положительности функции Z(p) а именно Re [F(p)] ; 0 ïðè Κ ; 0. Пусть Κ 0, ò. å. p j . Эта проверка сводится к применению следующей процедуры. Выделим вещественную часть рациональной дроби F(p) ïðè p j , ò. å. Re [F(j )]. Нетрудно заметить, что эта часть, как рациональная дробь, должна иметь члены с четными показателями относительно jϑ так как только в этом случае при p j функция будет вещественной. Поэтому представим F(p) в виде суммы рациональных дробей, состоящих из членов с четными и нечетными показателями:
F(p) N (p) M(p).
Òàê êàê
F(p) N 1(p) M1(p) ,
N 2 (p) M 2 (p)
то, перемножив знаменатель и числитель на N2(p) – M2(p), получим
F(p) |
N |
1(p)N |
2 (p) M1(p)M 2 (p) |
|
N |
2 (p)M1(p) N |
1(p)M 2 |
(p) |
. |
(*) |
||||
|
N |
2 |
(p) M 2 |
(p) |
|
N 2 |
(p) M 2 |
(p) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Ïðè p j первый член и окажется вещественной частью N(p) N(j ) функции F(p) F(j ), т. е. он равен величине Re [F(j )], которая должна быть положительной. Знаменатель ее всегда положителен. Поэтому проверка положительности функции N(j ) Re [F(j )] сведется к проверке положительности ее числителя.
Если выполнить операцию N1(j ) N2(j ) – M1(j ) M2(j ), то получим полином от 2. При изменении 2 от нуля до бесконечности значение этого полинома также будет меняться.
Возможны случаи, когда полином при некоторых частотах 2 2k примет
значение, равное нулю. В окрестностях этих точек полином можно представить в виде
P0 ( 2 ) N 1( j )N 2 ( j ) M1( j )M 2 ( j ) ( 2 2k )m f ( 2 ),
ãäå f( 2) — некоторый полином, не равный нулю при 2 2k . Нетрудно заметить, что при 2 2k происходит изменение знака P0 ( 2), åñëè т — нечетное. Таким образом, если имеется нуль полинома нечетной кратности, в том числе простой (m 1), то в этой точке полином P0 ( 2) меняет знак. Если полином P0 ( 2) меняет знак, то это означает, что либо при 2 < 2k , ëèáî ïðè 2 > 2k величина
P0 ( 2) имеет отрицательное значение и, следовательно, функция F(p) не является положительной.


246 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
нулю, то они отбрасываются из рассмотрении. В примере, приведенном в таблице, изменение знаков при x x1 происходит пять раз, т. е. число изменений знаков W(x1) 5. Изменение знаков при x x2 происходит три раза, т. е. W(x2) 3.
Теорема Штурма гласит: если действительные числа x1 è x2 (x1 < x2) не являются корнями полинома P0(x), не имеющего кратных корней, òî W(x1) W(x2) и разность W(x1) – W(x2) равна числу вещественных корней (нулей) P0(x), заклю- ченных между x1 è x2.
Полином P0(x), функции Штурма которого принимают знаки, приведенные в таблице, имеет два нуля в интервале x1 < x < x2, и поэтому такой полином не может быть положительным при всех значениях x в этом интервале, т. е. он нереализуем. Полином реализуем только при W(x1) – W(x2) 0.
Подвергнем проверке по этому методу положительность конкретной функции F(p), приведенной в начале предыдущего параграфа.
Числитель вещественной части N(x) этой функции равен
N 1(p)N 2 (p) M1(p)M 2 (p) 80p12 284p10 400p8 287p6 112p4 23p2 2. Ïðè p j имеем p2 – 2, p4 4, p6 – 6, p8 8, p10 – 10, p12 12. Обозначив 2 x, получим
P0 (x) 80x 6 284x 5 400x 4 287x 3 112x 2 23x 2.
Это выражение и будет первой функцией Штурма. Вторая функция Штурма
P1(x) P0 (x) равна P1(x) 480x5 – 1420x4 + 1600x3 – 861x2 + 224x – 23. Разделим P0(x) íà P1(x), заканчивая процесс деления, как было сказано выше.
Получим
P (x) |
0,1667x 0,09861 |
6,694x 4 14,28x 3 10,24x 2 2,922x 0,2681 |
|
0 |
|
. |
|
P (x) |
480x 5 1420x 4 1600x 3 861x 2 224x 23 |
||
1 |
|
|
|
Здесь и далее все результаты деления округлены до четвертой значащей цифры.
Третья функция Штурма равна остатку с обратным знаком: P2 (x) 6,694x 4 14,28x 3 10,24x 2 2,922x 0,2681.
Четвертую функцию Штурма находим как остаток с обратным знаком при делении P1(x) íà P2(x):
P (x) |
7170,x 59,19 |
20,81x 3 45,48x 2 3180,x 7,133 |
|
|
1 |
|
|
; |
|
P2 |
(x) |
P2 (x) |
P3 (x) 20,81x 3 45,48x 2 3180,x 7,133. Пятую и шестую функции Штурма определим аналогично:
P (x) |
0,3217x 0,01696 |
|
0,7780x 2 1167,x 0,3890 |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
; |
||||
P3 |
(x) |
|
|
P3 (x) |
||||||
|
|
P (x) 0,7780x 2 |
1167,x 0,3890; |
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 |
(x) |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
26,75x 18,34 |
|
, |
|
||
|
|
|
P4 |
(x) |
P4 (x) |
|
Глава 15. Синтез электрических цепей |
247 |
т. е. шестая функция Штурма тождественно равна нулю и может быть исключе- на из рассмотрения.
Нас интересует положительность функции во всем диапазоне частот, т. е. для 0 2 . Поэтому возьмем x1 0 è x2 . Тогда знаки функций Штурма будут:
|
|
|
|
P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
õ |
P0 |
P1 |
P2 |
|
P3 |
P4 |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
+ |
+ |
|
– |
– |
1 |
x1 0 |
+ |
– |
+ |
|
+ |
– |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из таблицы, W(x1) 3, à W(x2) 1, ò. å. W(x1) – W(x2) 2. Поэтому P0(x) имеет на оси x пару корней. Однако это еще не означает, что P0(x) меняет знак. Воспользовавшись известными из алгебры приемами, можно получить
P |
(x) 80x 6 284x 5 400x 4 287x 3 112x 2 |
23x 2 |
0 |
|
|
|
(x 1)2 (2x 1)2 (20x 2 11x 2), |
|
откуда видно, что вещественные корни (нули) этого выражения имеют четную кратность и, следовательно, сама функция P0(x) является положительной, так как при x 0 она положительна. Таким образом, Re [Z(p)]p j ; 0 для всех значе- ний .
Заметим, что в случае, когда существует равенство W(x1) W(x2), получается W(x1) – W(x2) 0. Это указывает на то, что в интервале x1 x x2 рассматриваемая функция не имеет нулей и, следовательно, не меняет знака. В этом случае достаточно установить, что функция положительна в какой-либо одной точке рассматриваемого интервала, чтобы считать ее положительной во всем интервале.
Проверки, приведенные в этом и предыдущем параграфах, показывают, что данная функция F(p) является вещественной и положительной и поэтому реализуема в виде электрической схемы, т. е. можно принять F(p) Z(p) èëè F(p) Y(p).
15.8. Синтез входной функции двухполюсника в общем случае. Реализация заданных функций, имеющих вещественные, мнимые и комплексные корни
В предыдущих параграфах мы убедились, что конкретная функция F(p), приведенная в начале § 15.6, является вещественной и положительной и, следовательно, может быть реализована. Осуществим эту реализацию.
Прежде всего выделим ее части, соответствующие мнимым и вещественным корням числителя и знаменателя, если таковые имеются. Эти выделенные части функции реализуем методами, изложенными в § 15.4 и 15.5. Операцию такого выделения будем производить до тех пор, пока не встретим комплексные корни. При этом придется воспользоваться другим методом реализации, который будет изложен ниже.


Глава 15. Синтез электрических цепей |
249 |
Исследуем числитель функции Y2(p) в отношении определения нулей на оси j . Легко заметить, что при наличии нуля на оси j ( p j ) должны быть равны нулю и вещественная, и мнимая части этого числителя, т. е.
8p4 6p2 1 0 è 2p3 p p(2p2 1) 0. |
|
||
Оба уравнения удовлетворяются только при p2 |
1 |
. Òàê êàê Y (p) имеет нуль |
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
p2 |
1 |
, òî Z2( p) 1/Y2( p) имеет полюс в этой точке. Выделим часть от Z2( p), |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
соответствующую этому полюсу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(p) |
1 |
|
10p4 8p3 10p2 |
3p 2 |
|
A |
|
p |
|
a p2 |
a p a |
0 |
|
|||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
, |
||||||||||
2 |
Y2 (p) |
(2p2 |
1)(4p2 p |
1) |
2p2 |
1 |
4p2 p 1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Z |
|
(p) |
2p2 |
1 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяя коэффициенты a2, a1, a0, как и в первом случае, получаем в числи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
òåëå a2 5, a1 2, a0 2. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
(p) |
|
|
p |
|
5p2 2p |
2 |
|
|
Z |
|
(p) |
Z |
|
(p). |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2p2 |
1 4p2 p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Функцию Z |
|
(p) |
p |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
можно реализовать в виде цепи, показан- |
|||||||||||||||||||||
3 |
2p2 1 |
p2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
íîé íà ðèñ. 15.16, à, òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
p C3 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
C3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z 3 (p) |
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
p2 |
1 |
|
|
p2 |
1 |
|
|
|
pL |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
L3C3 |
|
|
3 |
|
pC3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем C3 2, L3 1.
Числитель и знаменатель функции Z4( p) имеют комплексные корни, и поэтому реализация Z4( p) изложенными ранее методами, применимыми, если корни вещественные или мнимые, неосуществима.
Для реализации функции Z4( p) воспользуемся методикой, предложенной Бруне. Прежде всего приведем эту функцию к виду минимального активного сопротивления, т. е. к функции, которая имеет Re [Z( j )] 0 при некоторой часто-
òå 0. Для этого определим минимальное значение Rmin Re [Z4( j 0)], вы- читая которое из Z4( p), получим искомую функцию минимального активного
сопротивления, где Re [Z4( j 0)] – Rmin 0. Ясно, что нельзя вычесть произвольное активное сопротивление, так как при этом можем нарушить условие положительности вещественной части Z4( j ), т. е. получить Re [Z4( j 0)] – R < 0 (если вычесть R > Rmin) или не получить минимальное активное сопротивление (если
R < Rmin), так как при этом ни в одной точке оси j величина Re [Z4( j 0)] – R не примет нулевого значения.

250 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Для определения частоты 0, при которой Re [Z4( j )] min, найдем вещественную часть Z4(j ), используя первый член в правой части формулы (*) в § 15.7:
|
|
|
Re[Z |
|
( j )] |
|
(5p2 |
2)(4p2 |
1) 2p |
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
(4p2 1) |
2 |
p2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p j |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11p2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
20p4 |
|
|
20 4 11 2 2 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16p4 7p2 |
1 |
|
|
16 4 7 2 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p j |
|
|
|
||||||
|
Определим минимумы этой величины: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d |
{Re[Z |
|
( j )]} |
(80 3 22 )(16 4 7 2 |
1) (64 3 14 )(20 4 11 2 2) |
0. |
||||||||||||
d |
4 |
|
|
|
|
|
(16 4 7 2 |
1)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этого уравнения с целью отыскания его действительных корней можно пðîизвести многими методами. Для данного уравнения имеем решение0 12, при котором Re [Z4( j 0)] 1 (ðèñ. 5.16, á). Вычитая Rmin 1 èç Z4( p), не нарушим условие положительности. Находим
|
|
Z |
|
(p) R |
|
|
5p2 |
2p 2 |
|
1 |
|
p2 |
p 1 |
|
Z |
|
(p). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
min |
4p2 |
|
p |
1 |
4p2 p 1 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ïðè p j |
|
j |
1 |
|
|
сопротивление Z |
|
|
( j |
|
) j |
1 |
|
j |
|
L |
|
, ãäå L |
|
–1 (ñì. |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ðèñ. 15.16, â). Тогда Z5(p) можно представить в виде Z5(p) pL0 + Z6(p), ãäå |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
(p) Z |
|
|
(p) pL |
|
|
|
p2 |
p 1 |
|
p |
4p3 |
|
2p2 |
2p 1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4p2 |
p 1 |
|
|
|
4p2 p 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Особенность Z6(p) заключается в том, что эта функция равна нулю при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
p j 0, т. е. имеется возможность для обратной функции выделить часть, соот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ветствующую полюсу j 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(p) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4p2 p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
6 |
p |
|
|
a |
||||||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Z 6 (p) (p2 02 )(4p 2) p2 1 2 4p 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что A |
|
|
|
Y |
|
(p) |
|
p2 |
1 2 |
|
|
|
|
1 |
è a |
|
|
2, имеем |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y6 |
(p) |
2 |
|
2 |
|
Y7 (p) Y8 (p). |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
1 2 |
4p 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реализация Y7(p) производится ранее изложенным методом аналогично Y1(p) в виде последовательной цепочки из L7 2 è C7 1 (ðèñ. 15.16, ã), а реализацию
Y8(p) можно осуществить в виде цепочки из последовательно соединенных L8 è R8, ãäå L8 2, R8 1, òàê êàê Y8(p) 2p1 1.
Итак, реализующая всю функцию F( p) цепь имеет вид, представленный на рис. 15.16, ä.

Глава 15. Синтез электрических цепей |
251 |
При данном способе реализации функции вида Z5( p), которая не имеет ни нулей, ни полюсов на оси j и имеет равную нулю вещественную часть Re [Z5( j 0)] при частоте 0, мы получили на одном этапе реализации отрицательное значение индуктивности L0 –1. Это обстоятельство не должно нас смущать, так как в конечном счете эту отрицательную индуктивность можно реализовать введением в реальную цепь трансформатора, приближающегося по своим свойствам к совершенному трансформатору, т. е. с коэффициентом связи, рав-
ным единице (k 1). Параметры трансформатора в соответствии со значениями |
|||
величин L0, L7 è L8 (ðèñ. 15.16, ä) будут равны L L0 + L7 – 1 + 2 1; |
|||
L L8 + L7 2 + 2 4; M L7 2 и, следовательно, k |
|
M |
1. Это обстоятель- |
|
|
||
|
|
L L |
|
ство несколько снижает практическую ценность метода, так как условие k 1 можно осуществить только приближенно, хотя и с большой точностью.
Окончательная цепь, реализующая заданную конкретную функцию F( p), изображена на рис. 15.16, å.
15.9. О синтезе передаточных функций четырехполюсника
Проблема синтеза передаточной функции произвольного вида весьма сложна. Поэтому пример синтеза четырехполюсника с заданной передаточной функцией приведем для случая, когда эта функция задана для четырехполюсника, представленного на рис. 15.17. Этот че- тырехполюсник питается от источника тока , и на его выходе включен приемник с весьма большим сопротивлением (например, цепь затвора полевого транзистора).
При этом в уравнениях четырехполюсника, записанных в системе Z-параметров:
U1(p) Z11(p)I1(p) Z12 (p)I 2 (p); U 2 (p) Z 21(p)I1(p) Z 22 (p)I 2 (p),
можно принять I2(p) 0, т. е. положить U1(p) Z11(p)I1(p) è U2(p) Z21(p)I1(p). В таком случае передаточная функция оказывается равной параметру Z21(p) ÷å-
тырехполюсника, так как
K(p) U 2 (p) Z 21(p).
I1(p)
Рассмотрим свойства такой передаточной функции, причем ограничимся случаем, когда четырехполюсник, реализующий эту функцию, состоит только из реактивных элементов. В этом случае величины Z11(p) è Z22(p) как входные сопротивления со сторон зажимов 1–1 è 2–2 холостого хода четырехполюсника, состоящего из реактивных элементов, имеют простые чередующиеся нули и полюсы, расположенные на оси j . Коэффициенты в разложении этих функций на простые дроби вещественны и положительны (см. § 15.5). Величина Z21(p) не является входным сопротивлением, и поэтому ее нули могут быть расположены в любой части комплексной плоскости, однако симметрично относительно оси

252 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
вещественных (см. § 13.5). Полюсы функции Z21(p), как и полюсы функций Z11(p) è Z22(p), должны лежать на оси j . Функция Z21(j ) должна быть мнимой величиной, так как четырехполюсник состоит из реактивных элементов. Поэтому она должна быть нечетной рациональной функцией p.
При синтезе цепи, в которой необходимо обеспечивать только заданное зна- чение передаточной функции K(p) Z21(p), не ставится никаких ограничений для величин Z11(p) è Z22(p). Поэтому проще всего брать их равными друг другу. В этом случае полюсы Z11(p) Z22(p)
одновременно будут также и полюсами Z21(p) (см. § 13.5). Простые соотношения, связывающие параметры эквивалентной схемы четырехполюсника с параметрами Z11(p) è Z21(p), имеют место для мостовой эквивалентной схемы (рис. 15.18), для которой
Z11(p) Z 22 (p) 21[Z1(p) Z 2 (p)]
è
Z12 (p) Z 21(p) 21[Z 2 (p) Z1(p)],
откуда
Z1(p) Z11(p) Z12 (p) è Z 2 (p) Z11(p) Z 21(p).
В связи с этим будем осуществлять реализацию при помощи мостовой схемы. Если Z21(p) задано в виде рациональной дроби, то, разлагая последнюю на
простые дроби, в общем случае будем иметь некоторые простые дроби с положительными коэффициентами и некоторые — с отрицательными. Обозначим сумму дробей с положительными коэффициентами через Z21(+)(p), а взятую со знаком «минус» сумму дробей с отрицательными коэффициентами — через Z21(–)(p). Будем иметь
Z 21(p) Z 21( ) (p) Z 21( ) (p).
В выражениях Z21(+)(p) è Z21(–)(p) коэффициенты положительны. Наиболее простые выражения для Z1(p) è Z2(p) получим, если положим Z11(p) Z22(p)Z21(+)(p) + Z21(–)(p). Тогда
Z1(p) 2Z 21( ) (p) è Z 2 (p) 2Z 21( ) (p).
В качестве примера рассмотрим реализацию передаточной функции
Z 21 |
(p) |
|
|
p5 5p3 4,5p |
|
|
|
|
3p |
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
||||||
(p2 |
0,5)(p2 1)(p2 |
2) |
p2 |
0,5 |
p2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 p2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 21( ) (p) Z 21( ) (p); |
|
|
||||||||||||||
|
Z |
|
(p) |
3p |
; |
Z |
|
|
(p) |
|
p |
|
|
|
|
|
p |
. |
|
|
||||
|
21( ) |
|
21( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
p2 0,5 |
|
|
|
|
p2 1 p2 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что числитель (p5 + 5p3 + 4,5p) имеет нули, расположенные на оси j плоскости p симметрично относительно оси Κ и в начале координат.