Lekcii_DIFFOP

Лекция 12 представляет тему ¾Дифференциальное исчисление функции одной переменной¿

Чтобы при чтении лекций с экрана использовать переход по ссылке,

достаточно нажать на красный квадратик мышью.

Для того, чтобы вернуться обратно, нужно нажать одновременно

на комбинацию клавиш

Alt !

1

Бидерман В. И.

Лекции по математике для студентов первого курса

2

ЛЕКЦИЯ 12.

§ 12.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Сформулируем без доказательства1 основные теоремы дифференциального исчисления. Рассмотрим их геометрические и экономические интерпретации.

Теорема 12.1. (Ферм´а)2 Если функция f(x) дифференцируема на интервале и имеет во внутренней точке xo этого интервала локальный максимум (см. определение ??) или локальный минимум (см. определение ??), то производная в этой точке равна нулю, то есть

f0(xo) = 0:

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: обозначим уровень выпуска продукции через Qo. Предельные издержки обозначим через MC, а предельный доход MR. Далее обозначим прибыль через R, общие издержки производства C , а функцию прибыли P (Q).

Один из базовых законов теории производства звучит так: Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если MC(Qo) = MR(Qo).

Так как P (Q) = R(Q) C(Q), то оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение

выпуска Qo, при котором функция P (Q) имеет максимум. По теореме Ферм´а в этой точке P 0(Q) = 0. Но P 0(Q) = R0(Q) C0(Q), поэтому

R0(Qo) = C0(Qo). И поэтому MR(Qo) = MC(Qo).

Теорема Ферм´а позволяет доказать следующую теорему:

1Доказательство теорем см. в литературе в библиографическом списке.

2Ферм´а Пьер (de Fermat Pierre, 1601-1665) французский математик, один из создателей математического анализа, аналитической геометрии, теории вероятностей.

3

Теорема 12.2. (Ролля1) О нулях производной. Если функция f(x)

непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), а на концах отрезка принимает одинаковые значения (то есть f(a) = f(b)), то существует точка 2 (a; b) такая, что

f0( ) = 0:

Данная теорема интересна не только тем, что играет большую роль в доказательстве многих полученных в дальнейшем результатов, но и анализом тр¨ех е¨ условий2. Игнорирование каждого из них делает ложным результат теоремы.

01 представленный на рисунке 12.2, доказывает, что в

каждой точке интервала (0; 1) производная данной функции f0(x) = 1 и не обращается в нуль.

Следующий пример, в котором функция g(x) = jxj является не дифференцируемой на отрезке [ 1; 1] (см. стр. ??), также потверждает, что нет ни одной точки на интервале ( 1; 1), в которой производная g0(x) была бы равна нулю.

И, наконец, если мы убер¨ем условие о равенстве значений функции на концах отрезка, то пример непрерывной на отрезке [0; 1] и дифференцируемой на интервале (0; 1) функции f(x) = x, производная которой f0(x) = 1 во всех точках рассматриваемого интервала, доказывает невозможность найти точку, в которой производная обратилась бы в нуль на этом интервале.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на интервале (a; b) существует такая точка , что касательная к графику функции, провед¨енная в точке ( ; f( )), параллельна оси OX.

Обобщением теоремы является

1Ролль Мишель (Rolle Michel, 1652-1719) французский математик.

2Великий английский физик Поль Дирак дал формулировку теоремы Ролля в сфере отношений между людьми: Существует такая точка, в которой женское лицо выглядит наиболее привлекательно. При этом он же дал и доказательство этой ¾теоремы¿: Взгляд человека на любом из отрезков от нуля до M (где M ! 1) есть функция непрерывная и дифференцируемая внутри каждого из отрезков. Видимость на большом расстоянии, то есть в точке M, равна нулю. А так как лицом к лицу лица не увидать (С. Есенин), то в нуле она также равна нулю. Следовательно, все условия т. Ролля имеют место. То есть, существует точка, в которой производная от функции взгляда равна нулю. Поэтому в этой точке, согласно теореме Ферма, функция принимает наибольшее или наименьшее значение. В данном случае наибольшее.

4

Теорема 12.3. (Лагранжа1). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка 2 (a; b) такая, что

J

то между двумя нулями функции находится хотя бы один нуль производной. Таким образом, теорема Ролля рассматривает частный случай теоремы Лагранжа, когда секущая параллельна оси координат (а вместе с ней и касательная).

Из теоремы Лагранжа вытекают две важные для приложений теоремы:

Теорема 12.4. (О постоянстве функции на интервале).Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и во всех точках интервала е¨ производная f0(x) = 0, то функция является постоянной на данном интервале, то есть

f(x) = C = const 8x 2 (a; b):

Для любых двух точек x1 и x2, лежащих на интервале (a; b), согласно теореме 12.3

f(x2) f(x1) = f0( )(x2 x1); где 2 (x1; x2):

1Лагранж Жозеф Луи (Lagrange Joseph Louis (итал. Giuseppe Lodovico Lagrangia), 1736-1813) французский математик, механик и астроном.

2То есть повернуть оси старой системы координат X0Y на некоторый угол.

5

Но так как во всех точках интервала производная равна нулю, то f0( ) = 0. Поэтому для всех точек из интервала f(x1) = f(x2) =const.

Теорема 12.5. (Достаточное условие монотонности функции на интервале) Если функция f(x), дифференцируема на интервале (a; b) и

е¨ производная

f0(x) > 0 (f0(x) < 0)

во всех точках интервала, то функция является монотонно возрастающей (убывающей) на интервале.

Замечание 12.1. Теорема 12.5 является достаточным, но не необходимым условием для монотонности функции. Существуют примеры, когда функция может монотонно возрастать (или убывать) в точке, имея равную

нулю или не существующую производную в этой точке . Примерами таких p

функций являются y = x3 и y = 3 x. Каждая из них монотонно возрастает на всей области определения, в том числе и в точке xo = 0, но у первой из них производная в нуле равна нулю, а у второй не существует.

Обобщением теоремы Лагранжа, в свою очередь1, является

Теорема 12.6. (Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b), прич¨ем g0(x) 6= 0 во всех точках этого интервала, то существует хотя бы одна точка

2 (a; b) такая, что

Раннее, в 10-й лекции, при вычислении пределов мы воспользовались таблицей эквивалентности бесконечно малых функций без вывода е¨ формул. Сейчас мы можем сформулировать несколько правил2, которые с помощью производных позволят доказать истинность формул таблицы, а также вычислить некоторые пределы, которые понадобятся в дальнейшем.

§ 12.2. Правила д’Лопиталя-Бернулли раскрытия неопредел¨енностей

Предположим, что функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:3

1)Функции определены на отрезке [a; b];

2)lim f(x) = lim g(x) = 0;

x!a x!a

1Если g(x) = x, теорема Коши обращается в теорему Лагранжа.

2Заметим, что доказательство первого из этих правил опирается на теорему Коши. 3При соответствующих условиях это правило справедливо и в бесконечности.

6

3) существуют конечные производные f0(a) и g0(a), прич¨ем g0(a) 6= 0.

Решение. Так как lim sin x = lim x = 0, и функции y = sin x и y = x

x!0 x!0

дифференцируемы на любом отрезке, то воспользуемся теоремой 12.7:

Так как остальные формулы из таблицы эквивалентности бесконечно малых с помощью подобных пределов выводятся аналогично, то мы их оставим для самостоятельной работы. И рассмотрим второе правило раскрытия

неопредел¨енностей2.

1

Теорема 12.8. (Раскрытие неопредел¨енности типа 1 ).

Предположим, что функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям3:

1)Функции определены на промежутке [c; 1);

2)lim f(x) = lim g(x) = 1;

x!1 x!1

3) на промежутке [c; 1) существуют конечные производные f0(x) и g0(x), прич¨ем g0(x) 6= 0;

1Этот предел имеет собственное имя первый замечательный предел. В классических учебниках математики он доказывается с помощью элементарной геометрии.

2д’Лопиталь Гийом Франсуа (marquis de L’Hopital Guillaume Francois Antoine, 1661-1704) французский математик, ученик Иоганна Бернулли. Опубликовал первый учебник по математическому анализу (1631)

Бернулли Иоганн (Bernoulli Johann, 1667-1748) швейцарский математик, один из создателей математического анализа.

3При соответствующих условиях это правило справедливо и в точке.

7

4) существует конечный предел lim f0(x) = P:

x!1 g0(x)

Тогда

lim f(x) = P:

x!1 g(x)

Задача 12.3. Вычислить предел lim ex :

x!1 x

Решение.

Рассмотрим вычисление предела, который связан с неопредел¨енностью типа (0 1), но за сч¨ет элементарного преобразования1

8

§ 12.3. Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной

12.3.1. Условия локального экстремума функции в точке

Определение 12.1. Точка xo из области определения Df дифференцируемой в этой точке функции f(x) называется стационарной точкой первой производной f0(x), если f0(xo) = 0.

Так, для функции y = x2 стационарной точкой является точка xo = 0, поскольку первая производная y0 = 2x равна в этой точке нулю.

Определение 12.2. Точка xo из области определения Df функции f(x)

называется критической точкой первой производной f0(x), если производ-

ная f0(x ) не существует или стремится к бесконечности.

o p

Функции y = jxj и y = 3 x2 имеют общую критическую точку xo = 0, но для первой из функций производная в этой точке не существует (см. стр.

чности.

На Рис. 12.5 можно увидеть принципиальное отличие стационарной точки первой производной от критической точки: стационарной точке xo cоответ-

@

Рис. 12.5

Теорема Ферм´а и определения стационарной и критической точки первой производной позволяют определить условия существования локального экстремума.

9

Теорема 12.9. Необходимое условие локального экстремума.

Для того, чтобы функция имела в точке локальный экстремум, необходимо, чтобы эта точка была стационарной или критической точкой первой производной этой функции.

Следует заметить, что наличие стационарной или критической точки

первой производной не означает, что функция обязательно будет иметь в p

этой точке локальный экстремум. Так для функций y = x3 и y = 3 x точка xo = 0 является соответственно стационарной и критической, однако на графиках хорошо видно, что локальный экстремум у этих функций отсутствует.

Поэтому для исследования функций необходимо иметь достаточные условия локального экстремума. Сформулируем первое из этих условий.

Теорема 12.10. (Первое достаточное условие локального экстремума). Если в окрестности стационарной или критической точки первая производная меняет свой знак на противоположный, то точка является точкой локального экстремума. При этом, если:

1)при увеличении аргумента знак меняется с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции;

2)при увеличении аргумента знак меняется с плюса на минус, то точка является точкой максимума функции1.

Задача 12.6. Определить интервалы возрастания и убывания, и исследовать на экстремум функцию f(x) = 2x3 6x2 + 1.

Решение. Так как функция является многочленом, то е¨ область опре-

деления Df = (1; 1). Найд¨ем первую производную функции: f0(x) = 6x2 12x:

Область определения производной Df0 = (1; 1), поэтому она может иметь только стационарные точки. Определим стационарные точки, решив уравнение f0(x) = 0. Для этого преобразуем производную, вынеся общий множитель: 6x(x 2) = 0. Следовательно, первая производная имеет стационарные точки xo = 0 и x1 = 2. Согласно достаточному условию монотонности функции на интервале (теорема 12.4) найд¨ем интервалы возрастания и убывания функции, решив неравенства f0(x) < 0 и f0(x) > 0.

1Или, иными словами, если слева от стационарной или критической точки функция убывает (возрастает), а справа возрастает (убывает), то в этой точке есть локальный минимум (максимум).

10