comb_ch2

x1. Žá-®¢-ë¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.1. •ãáâì § ¤ -® -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮ V ¨ ¬-®¦¥á⢮ E ¯ à à §«¨ç-ëå í«¥¬¥-⮢ ¨§ V (E µ V 2). •«¥¬¥-âë ¬-®¦¥á⢠V - §ë¢ îâáï ¢¥àè¨- ¬¨ £à ä , í«¥¬¥-- âë ¬-®¦¥á⢠E - §ë¢ îâáï à¥¡à ¬¨ £à ä , ¯ à G = (V; E), â.¥. ¬-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- ¨

¬-®¦¥á⢮ ॡ¥à, - §ë¢ ¥âáï £à 䮬.

‚ ¤ «м-¥©и¥¬ ¬л ¡г¤¥¬ з бв® ¨б¯®«м§®¢ вм £¥®¬¥ва¨з¥бª®¥ ¯а¥¤бв ¢«¥-¨¥ £а д . ‚¥а- и¨-л £а д ¨§®¡а ¦ овбп ¢ ¢¨¤¥ в®з¥ª - ¯«®бª®бв¨. …б«¨ ¤¢¥ ¢¥аи¨-л ®¡а §гов а¥¡а®, в® б®®в¢¥вбв¢гойго ¯ аг в®з¥ª б®¥¤¨-пов «¨-¨¥©. Š ª ¨¬¥--® - а¨б®¢ -л нв¨ в®зª¨ ¨ «¨-¨¨, бз¨в ¥вбп -¥бгй¥бв¢¥--л¬, ¢ ¦-®, «¨им, ª ª¨¥ ¯ ал ¢¥аи¨- ®¡а §гов а¥¡а®, ª ª¨¥ - -¥в.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.2. Ž £à ä¥ á® ¬-®¦¥á⢮¬ ¢¥àè¨- V £®¢®àïâ, çâ® ®- § ¤ - - V . Œ-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- £à ä G ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ V (G), ¬-®¦¥á⢮ ¥£® ॡ¥à { ç¥à¥§ E(G).

Œë -¥ ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ áâண® à §«¨ç âì £à ä ¨ ¥£® ¬-®¦¥á⢠¢¥àè¨- ¨ ॡ¥à. • ¯à¨¬¥à, ¬ë ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® ¢¥àè¨-¥ v 2 G (¢¬¥áâ® v 2 V (G)), ॡॠe 2 G ¨ â ª ¤ «¥¥.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.3. —¨á«® ¢¥àè¨- £à ä G - §ë¢ ¥âáï ¥£® ¯®à浪®¬ ¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª jGj; ç¨á«® ¥£® ॡ¥à ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ kGk. ƒà ä ª®-¥ç¥- ¨«¨ ¡¥áª®-¥ç¥- ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬

¯®à浪®¬; ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ §¤¥áì £à äë áç¨â îâáï ª®-¥ç-묨. •à¨¬¥à 1.1. ƒà ä, ¨§®¡à ¦¥--ë© - à¨áã-ª¥ 1.1, ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 7.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.4. ‚¬¥áâ® ¯ãá⮣® £à ä (?; ?) ¬ë ¯¨è¥¬ ¯à®áâ® ?. ƒà ä ¯®à浪 1

- §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì-ë¬.

ˆ-®£¤ , - ¯à¨¬¥à, ª®£¤ -ã¦-® - ç âì ¨-¤ãªæ¨î, ¯ãáâë¥ ¨ âਢ¨ «ì-ë¥ £à äë ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«¥§-ë; ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå ®-¨ ¤ îâ ¢ë஦¤¥--ë¥ ª®-âà¯à¨¬¥àë ¨ áâ -®¢ïâáï ¯®¬¥å®©. ‚® ¨§¡¥¦ -¨¥ § á®à¥-¨ï ⥪áâ ®£®¢®àª ¬¨ ® -¥âਢ¨ «ì-®á⨠¬ë ®¡ëç-® ¡ã¤¥¬ ¯à¥-¥¡à¥£ âì âਢ¨ «ì-묨, ⥬ ¡®«¥¥ ¯ãáâ묨 £à ä ¬¨.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.5. ‚¥àè¨- v ¨-樤¥-â- ॡàã e, ¥á«¨ v 2 e; ⮣¤ ¥é¥ £®¢®àïâ, çâ® e ¥áâì ॡ஠¯à¨ v. „¢¥ ¢¥àè¨-ë, ¨-樤¥-â-ë¥ à¥¡àã, áãâì ¥£® ª®-æ¥¢ë¥ ¢¥àè¨-ë ¨«¨ ª®-æë;

ॡ஠ᮥ¤¨-ï¥â ᢮¨ ª®-æ¥¢ë¥ ¢¥àè¨-ë.

•¥¡à® fx; yg ®¡ëç-® § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª xy (¨«¨ yx).

•à¨¬¥à 1.2. ‚ £à ä¥, ¨§®¡à ¦¥--®¬ - à¨áã-ª¥ 1.1, ¢¥àè¨- 5 ¨-樤¥-â- à¥¡à ¬ f1; 5g, f2; 5g, f5; 7g.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.6. …᫨ x 2 X ¨ y 2 Y , â® xy ¥áâì X ¡ Y ॡà®.

Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å X ¡ Y ॡ¥à ¢® ¬-®¦¥á⢥ E ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ E(X; Y ). Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å ॡ¥à ¨§ E ¯à¨ ¢¥àè¨-¥ v ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ E(v).

1

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.7. „¢¥ ¢¥àè¨-ë x; y ¢ G б¬¥¦-л ¨«¨ п¢«повбп б®б¥¤п¬¨, ¥б«¨ xy ¥áâì ॡ஠¢ G. „¢ ॡà e 6= f ᬥ¦-ë, ¥á«¨ ã -¨å ¥áâì ®¡é¨© ª®-¥æ.

•à¨¬¥à 1.3. ‚ £à ä¥, ¨§®¡à ¦¥--®¬ - à¨áã-ª¥ 1.2, ¢¥àè¨-ë 1 ¨ 2 ᬥ¦-ë, ¢¥àè¨-ë 1 ¨ 3 -¥ ᬥ¦-ë; ॡà f1; 2g ¨ f1; 4g ᬥ¦-ë.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.8. …᫨ ¢á¥ ¢¥àè¨-ë ¢ G ¯®¯ à-® ᬥ¦-ë, â® £à ä G - §ë¢ ¥âáï ¯®«-

-ë¬.

•®«-ë© £à ä - n ¢¥àè¨- å ®¡®§- ç ¥âáï Kn.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.9. K3 - §ë¢ ¥âáï âà¥ã£®«ì-¨ª®¬.

²

¡D¥¥@

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.10. •ãáâì G = (V; E) ¨ G0 = (V 0; E0) { ¤¢ £à ä . • §®¢¥¬ G ¨ G0 ¨§®¬®àä-묨 ¨ § ¯¨è¥¬ íâ® ª ª G ' G0, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ' : V ! V 0, £¤¥ xy 2 E , '(x)'(y) 2 E0 ¯à¨ ¢á¥å x; y 2 V . ’ ª®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ' - §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, ¯à¨ç¥¬ ¥á«¨ G = G0, â® ¢â®¬®à䨧¬®¬.

— é¥ ¢á¥£® à §«¨ç¨© ¬¥¦¤ã ¨§®¬®àä-묨 £à ä ¬¨ -¥ ¤¥« ¥âáï. ’ ª, ®¡ëç-® ¯¨èãâ G = G0 ¢¬¥áâ® G ' G0, £®¢®àïâ ® ¥¤¨-á⢥--®¬ ¯®«-®¬ £à ä¥ - 17 ¢¥àè¨- å ¨ â ª ¤ «¥¥.

•¨á. 1.4. ƒà äë, ¨§®¬®àä-ë¥ ®â-®á¨â¥«ì-® ¡¨¥ªæ¨¨ ai ! bi, i = 1; 7

2

•¨á. 1.6. H2 { ¯®¤£à ä £à ä G, ¨-¤ãæ¨à®¢ --ë© ¬-®¦¥á⢮¬ ¢¥àè¨- f1; 2; 3; 4; 6g; ¯®¤£à ä H1 £à ä G ¨-¤ãæ¨à®¢ --ë¬ -¥ ï¥âáï.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.15. …᫨ U { ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ¬-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- (®¡ëç-® ¢ G), â® ¢¬¥áâ® G[V n U] ¬ë ¯¨è¥¬ G ¡ U. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, G ¡ U ¯®«ãç ¥âáï ¨§ G 㤠«¥-¨¥¬ ¢á¥å ¢¥àè¨- ¬-®¦¥á⢠U \ V ¨ ¨-樤¥-â-ëå ¨¬ ॡ¥à. ‚¬¥áâ® G ¡ V (G0) ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ¯à®áâ® G ¡ G0 {

à §-®áâì £à 䮢 G ¨ G0.

3

„«ï ¯®¤¬-®¦¥á⢠F ¢ V 2 ¯¨è¥¬ G ¡ F = (V; E n F ) ¨ G + F = (V; E [ F ).

…᫨ G ¨ G0 -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¬ë ®¡®§- ç ¥¬ ç¥à¥§ G ¤ G0 £à ä, ¯®«ãç î騩áï ¨§ G [ G0

„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ jGj = n, â® £à ä G ®¡à §®¢ - ¬-®¦¥á⢮¬ ¢¥àè¨- V (G) ¨ à¥¡à ¬¨,

•¨á. 1.8. ƒà ä, ¨§®¬®àä-ë© á¢®¥¬ã ¤®¯®«-¥-¨î

“¯à ¦-¥-¨ï

1.„®ª § âì, çâ® á।¨ è¥á⨠祫®¢¥ª ¢á¥£¤ - ©¤ãâáï â஥, ª®â®àë¥ «¨¡® ¯®¯ à-® §- ª®- ¬ë, «¨¡® -¨ ®¤¨- ¨§ -¨å -¥ §- ¥â ¤¢ãå ¤à㣨å.

x2. ‘⥯¥-ì ¢¥àè¨-ë

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.1. •ãáâì ? 6= G = (V; E) { £à ä. Œ-®¦¥á⢮ á®á¥¤¥© ¢¥àè¨-ë v ¢ G ®¡®§- 稬 ç¥à¥§ N(v). •®«¥¥ ®¡é®, ¤«ï U µ V á®á¥¤¨ ¢ V n U ¢¥àè¨- ¨§ U - §ë¢ îâáï á®á¥¤ï¬¨ ¬-®¦¥á⢠U; ¨å ¬-®¦¥á⢮ ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ N(U).

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.2. ‘⥯¥-ì d(v) ¢¥àè¨-ë v ¥áâì ç¨á«® ॡ¥à ¯à¨ v; ¯® - 襬㠮¯à¥¤¥- «¥-¨î £à ä ®- à ¢- ç¨á«ã á®á¥¤¥© ¢¥àè¨-ë v. ‚¥àè¨- á⥯¥-¨ 0 ¨§®«¨à®¢ - .

4

Žç¥¢¨¤-®, çâ® 0 · d(v) · jV j ¡ 1 ¤«ï «î¡®© ¢¥àè¨-ë v £à ä G = (V; E).

•à¨¬¥à 2.1. „«ï £à ä , ¨§®¡à ¦¥--®£® - à¨á. 1.1, d(1) = d(2) = 2, d(3) = d(4) = d(7) = 1, d(5) = 3, d(6) = 0.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.3. —¨á«® ±(G) = minf d(v) j v 2 V g - §ë¢ ¥âáï ¬¨-¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî £à ä G, ç¨á«® (G) = maxf d(v) j v 2 V g - ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.4. …᫨ ¢á¥ ¢¥àè¨-ë £à ä G ¨¬¥îâ ®¤-ã ¨ âã ¦¥ á⥯¥-ì k, â® ®- k-®¤-®à®¤¥- ¨«¨ ¯à®áâ® ®¤-®à®¤¥-. 3-®¤-®à®¤-ë© £à ä - §ë¢ ¥âáï ªã¡¨ç¥áª¨¬.

‘।-ïï á⥯¥-ì ®æ¥-¨¢ ¥â £«®¡ «ì-® â®, çâ® «®ª «ì-® ¨§¬¥àï¥âáï á⥯¥-ﬨ ¢¥àè¨- { ç¨á«® ॡ¥à £à ä G, ¯à¨å®¤ïé¨åáï - ®¤-ã ¢¥àè¨-ã.

“⢥ত¥-¨¥ 2.1. •ãáâì jEj { ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à £à ä G = (V; E): ’®£¤

X

2jEj = d(v):

v2V

„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ ¬ë á«®¦¨¬ á⥯¥-¨ ¢á¥å ¢¥àè¨- ¢ G, â® ãç⥬ ª ¦¤®¥ ॡà®

஢-® ¤¢ ¦¤ë, ¯® ®¤-®¬ã à §ã á ª ¦¤®£® ª®-æ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,

X

d(v) = 2jEj: ¤

v2V

‘«¥¤á⢨¥ 2.1. ‚ k¡®¤-®à®¤-®¬ ª®-¥ç-®¬ £à ä¥ G = (V; E) á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮

‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ k { -¥ç¥â-®¥ ç¨á«®, â® ç¨á«® ¢¥àè¨- ï¥âáï ç¥â-ë¬. ¤

“⢥ত¥-¨¥ 2.2. —¨á«® ¢¥àè¨- -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨ ¢ «î¡®¬ £à ä¥ ç¥â-®. „®ª § ⥫ìá⢮. ‚ ᨫã ã⢥ত¥-¨ï 2.1,

5

X X X d(v) = d(v) ¡ d(v):

1.„®ª § âì, çâ® ¢ «î¡®¬ ª®-¥ç-®¬ £à ä¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë, ¨¬¥î騥 ®¤¨- ª®¢ãî á⥯¥-ì.

2.‚ëç¨á«¨âì ç¨á«® ॡ¥à ¢ Kn.

3.‘ãé¥áâ¢ã¥â «¨ ªã¡¨ç¥áª¨© £à ä -¥ç¥â-®£® ¯®à浪 ?

x3. •ã⨠¨ 横«ë

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.1. •ãâì { íâ® -¥¯ãá⮩ £à ä P = (V; E) ¢¨¤

V = fx0; x1; : : : ; xkg; E = fx0x1; x1x2; : : : ; xk¡1xkg;

£¤¥ ¢á¥ xi à §«¨ç-ë. ‚¥àè¨-ë x0 ¨ xk ᮥ¤¨-¥-ë ¯ã⥬ P ¨ - §ë¢ îâáï ¥£® ª®-æ ¬¨; ¢¥àè¨-ë x1; : : : ; xk¡1 áãâì ¢-ãâà¥--¨¥ ¢¥àè¨-ë ¯ã⨠P . —¨á«® ॡ¥à ¢ ¯ã⨠¥áâì ¥£® ¤«¨- ; ¯ãâì ¤«¨-ë k ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ P k. Žâ¬¥â¨¬, çâ® k ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢-ë¬ -ã«î, ¨¬¥--®,

P 0 = K1.

•¨á. 3.1. •ãâì P = P 6 ¢ G

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.2. Œë ç áâ® § ¤ ¥¬ ¯ãâì ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ¥£® ¢¥àè¨-, â.¥. ¯¨- 襬, - ¯à¨¬¥à, P = x0x1 : : : xk ¨ - §ë¢ ¥¬ P ¯ã⥬ ¨§ x0 ¢ xk ( â ª¦¥ ¬¥¦¤ã x0 ¨ xk).

•à¨ 0 · i · j · k ¯¨è¥¬

6

¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®¤¯ã⨠¢ P . €- «®£¨ç-ë¥ - £«ï¤-ë¥ ®¡®§- ç¥-¨ï ¨á¯®«ì§ã- îâáï ¨ ¤«ï ®¡ê¥¤¨-¥-¨© ¯ã⥩. ’ ª, ¥á«¨ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ P x [ xQy [ yR âà¥å ¯ã⥩ ¥áâì á-®¢ ¯ãâì, ¬ë ¬®¦¥¬ ®¡®§- ç¨âì ¥£® ¯à®áâ® ç¥à¥§ P xQyR.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.3. „«ï ¬-®¦¥á⢠¢¥àè¨- A, B - §®¢¥¬ P = x0 : : : xk A ¡ B ¯ã⥬, ¥á«¨ V (P ) \ A = fx0g ¨ V (P ) \ B = fxkg. „¢ ¨«¨ ¡®«ìè¥ ¯ã⥩ -¥§ ¢¨á¨¬ë, ¥á«¨ -¨ ®¤¨- ¨§ -¨å -¥ ᮤ¥à¦¨â ¢-ãâà¥--¥© ¢¥àè¨-ë ¤à㣮£®. • ¯à¨¬¥à, ¤¢ a ¡ b ¯гв¨ -¥§ ¢¨б¨¬л, ¥б«¨ ¨ в®«мª® ¥б«¨ ®¡й¨¬¨ ¢ -¨е п¢«повбп «¨им ¢¥аи¨-л a ¨ b.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.4. „«ï £à ä H - §®¢¥¬ P H¡¯ã⥬, ¥á«¨ P -¥âਢ¨ «¥- ¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â- áï á H ⮫쪮 ᢮¨¬¨ ª®-æ ¬¨. ‚ ç áâ-®áâ¨, ॡ஠H¡¯ã⨠¤«¨-ë 1 -¨ª®£¤ -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â

H.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.5. …᫨ P = x0 : : : xk¡1 ¥áâì ¯ãâì ¨ k ¸ 3, â® £à ä C = P + xk¡1x0

- §ë¢ ¥âáï 横«®¬. Š ª ¨ ¯ãâì, ¬ë ç áâ® § ¤ ¥¬ 横« (横«¨ç¥áª®©) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâìî ¥£® ¢¥àè¨-; ⮫쪮 ç⮠㯮¬ï-ãâë© æ¨ª« C ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á - ª ª x0 : : : xk¡1x0. „«¨-

横« ¥áâì ç¨á«® ¥£® ॡ¥à (¨«¨ ¢¥àè¨-); 横« ¤«¨-ë k - §ë¢ ¥âáï k¡æ¨ª«®¬ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï

•¨á. 3.3. –¨ª« C8 á å®à¤®© xy ¨ ¨-¤ãæ¨à®¢ --ë¥ æ¨ª«ë C6, C4

…᫨ £à ä ¨¬¥¥â ¡®«ìèãî ¬¨-¨¬ «ì-ãî á⥯¥-ì, â® ¢ -¥¬ ¥áâì ¤«¨--ë¥ æ¥¯¨ ¨ 横«ë.

7

“⢥ত¥-¨¥ 3.1. Š ¦¤ë© £à ä G ᮤ¥à¦¨â ¯ãâì ¤«¨-ë ±(G) ¨ 横« ¤«¨-ë -¥ ¬¥-¥¥

±(G) + 1 (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ±(G) ¸ 2).

{ ¤«¨--¥©è¨© ¯ãâì ¢ G. ’®£¤ - -¥¬ «¥¦ ⠢ᥠá®á¥¤¨ ¢¥àè¨-ë xk (à¨á. 3.4). Žâáî¤ k ¸ d(xk) ¸ ±(G). …᫨ i < k ¬¨-¨¬ «ì-® ¯à¨ xixk 2 E(G), â® xi : : : xkxi ¥áâì 横« ¤«¨-ë -¥ ¬¥-¥¥ ±(G) + 1. ¤

Œ¨-¨¬ «ì- ï á⥯¥-ì ¨ ®¡å¢ â, á ¤à㣮© áâ®à®-ë, -¥ á¢ï§ -ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ (¥á«¨ ⮫쪮 ç¨á«® ¢¥àè¨- -¥ § 䨪á¨à®¢ -®). ‘ãé¥áâ¢ãîâ £à äë, á®ç¥â î饥 ¯à®¨§¢®«ì-® ¡®«ìèãî ¬¨-¨¬ «ì-ãî á⥯¥-ì á ¯à®¨§¢®«ì-® ¡®«ì訬 ®¡å¢ ⮬.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.7. • ááâ®ï-¨¥ dG(x; y) ¢ G ¬¥¦¤ã ¢¥àè¨- ¬¨ x; y ¥áâì ¤«¨- ªà âç ©- 襣® x ¡ y ¯ã⨠¢ G (â ª®© ¯ãâì - §ë¢ ¥âáï £¥®¤¥§¨ç¥áª®©); ¥á«¨ -¨ ®¤-®£® â ª®£® ¯ã⨠-¥â, ¬ë ¯®« £ ¥¬ d(x; y) = 1. • ¨¡®«ì襥 à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨- ¬¨ ¢ G ¥áâì ¤¨ ¬¥âà £à ä G, ®¡®§- ç ¥¬ë© diam(G). „¨ ¬¥âà ¨ ®¡å¢ â, ª®-¥ç-® ¦¥, ¢§ ¨¬®á¢ï§ -ë.

“⢥ত¥-¨¥ 3.2. Š ¦¤ë© £à ä G, ᮤ¥à¦ 騩 横«, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î g(G) · 2 diam(G) + 1.

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì C { ªà âç ©è¨© 横« ¢ G. …᫨ g(G) ¸ 2 diam(G) + 2, â® ¢ C - ©¤ãâáï ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë á à ááâ®ï-¨¥¬ ¯® C -¥ ¬¥-ìè¥ diam(G) + 1. ‚ G à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã

í⨬¨ ¢¥àè¨- ¬¨ ¬¥-ìè¥, ¯®í⮬ã -¨ª ª®© ªà âç ©è¨© ¯ãâì • ¬¥¦¤ã -¨¬¨ -¥ ï¥âáï ç áâìî C. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, P ᮤ¥à¦¨â -¥ª®â®àë© C¡¯ãâì xP y. ‚¬¥áâ¥ á ¡®«¥¥ ª®à®âª¨¬ ¨§

¤¢ãå x ¡ y ¯ã⥩ ¢ C íâ®â ¯ãâì xP y ®¡à §ã¥â ¡®«¥¥ ª®à®âª¨© 横«, 祬 C; ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ¤ Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.8. ‚¥àè¨- æ¥-âà «ì- ¢ G, ¥á«¨ - ¨¡®«ì襥 à ááâ®ï-¨¥ ®â -¥¥ ¤® ¢á¥å ®áâ «ì-ëå ¢¥àè¨- ¬¨-¨¬ «ì-®. •â® à ááâ®ï-¨¥ ¥áâì à ¤¨ãá £à ä G, ®¡®§- ç ¥¬ë© rad(G).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ «ì-® rad(G) = minx2V (G) maxy2V (G) dG(x; y).

„¨ ¬¥âà ¨ à ¤¨ãá -¥ á¢ï§ -ë - ¯àï¬ãî á ¬¨-¨¬ «ì-®© ¨«¨ á।-¥© á⥯¥-ìî: £à ä ¬®- ¦¥â á®ç¥â âì ¡®«ìèãî ¬¨-¨¬ «ì-ãî á⥯¥-ì á ¡®«ì訬 ¤¨ ¬¥â஬, â ª¦¥ ¬ «ãî á।-îî á⥯¥-ì á ¬ «ë¬ ¤¨ ¬¥â஬.

Œ ªá¨¬ «ì- ï á⥯¥-ì ¢¥¤¥â á¥¡ï ¯®-¤à㣮¬ã: £à ä ¡®«ì讣® ¯®à浪 ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¬ «ë¥ ¤¨ ¬¥âà ¨ à ¤¨ãá, «¨èì ¥á«¨ ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì- ï á⥯¥-ì ¢¥«¨ª . •âã á¢ï§ì ®ç¥-ì ¯à¨¡«¨§¨- ⥫ì-® ¬®¦-® ®æ¥-¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

“⢥ত¥-¨¥ 3.3. ‚ £à ä¥ G à ¤¨ãá -¥ ¡®«¥¥ k á ¬ ªá¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî -¥ ¡®«¥¥ d

Ž¯а¥¤¥«¥-¨¥ 3.9. Œ аиагв (¤«¨-л k) ¢ £à ä¥ G ¥áâì -¥¯ãáâ ï ç¥à¥¤ãîé ïáï ¯®á«¥¤®-

8

¢ ⥫ì-®áâì voe0v1e1 : : : ek¡1vk ¢¥àè¨- ¨ ॡ¥à ¢ G â ª ï, çâ® ei = vivi+1 ¯à¨ ¢á¥å i < k. …᫨ v0 = vk, в® ¬ аиагв § ¬ª-гв. …б«¨ ¢б¥ ¢¥аи¨-л ¢ ¬ аиагв¥ а §«¨з-л, в® ®-, ®з¥¢¨¤-®, ®¯а¥¤¥«п¥в ¯гвм ¢ G.

“¯à ¦-¥-¨ï

á ¬ «®© á।-¥© á⥯¥-ìî ¨ ¬ «ë¬ ¤¨ ¬¥â஬.

3.„®ª § вм, зв® ª ¦¤л© ¬ аиагв ¬¥¦¤г ¤¢г¬п ¢¥аи¨- ¬¨ ᮤ¥а¦¨в ¯гвм ¬¥¦¤г нв¨¬¨ ¢¥аи¨- ¬¨.

x4. ‘¢ï§-®áâì

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.1. •¥¯ãá⮩ £à ä G - §ë¢ ¥âáï á¢ï§-ë¬, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨-ë ᮥ¤¨-¥-ë ¯ã⥬ ¢ G. …᫨ U µ V (G) ¨ G[U] á¢ï§¥-, ¬ë â ª¦¥ - §ë¢ ¥¬ ¬-®¦¥á⢮ U á¢ï§-ë¬ (¢ G).

“⢥ত¥-¨¥ 4.1. ‚¥àè¨-ë á¢ï§-®£® £à ä G ¬®¦-® § -㬥஢ âì â ª (- ¯à¨¬¥à, v1; : : : ; vn), çâ® ¯®¤£à ä Gi = G[v1; : : : ; vi] ¡ã¤¥â á¢ï§-ë¬ ¯à¨ ¢á¥å i.

„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®§ì¬¥¬ «î¡ãî ¢¥àè¨-ã § v1 ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯® ¨-¤ãªæ¨¨, çâ® ¢¥à- è¨-ë v1; : : : ; vi 㦥 ¢ë¡à -ë ¤«ï -¥ª®â®à®£® i < jGj. ’¥¯¥àì ¢®§ì¬¥¬ ¢¥àè¨-ã v 2 G ¡ Gi. •®áª®«ìªã £à ä G á¢ï§¥-, ®- ᮤ¥à¦¨â v ¡v1 ¯ãâì P . ‚롥६ ¢ ª ç¥á⢥ vi+1 ¯®á«¥¤-îî - P ¢¥àè¨-ã ¨§ G ¡ Gi; ⮣¤ vi+1 ¨¬¥¥â á®á¥¤ ¢ Gi. ‘¢ï§-®áâì ª ¦¤®£® Gi «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨-¤ãªæ¨¥© ¯® i. ¤

¨ ¬¨-¨¬ «ì-ë© ®á⮢-ë© ¯®¤£à ä ¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®¬¯®-¥-â

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.3. …᫨ A; B µ V ¨ X µ V [ E â ª®¢ë, çâ® ª ¦¤ë© A ¡ B ¯ãâì ¢ G ᮤ¥à¦¨â ¢¥àè¨-ã ¨«¨ ॡ஠¨§ X, ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® X à §¤¥«ï¥â ¬-®¦¥á⢠A ¨ B ¢ G. Žâáî¤ , ¢ ç áâ-®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® A \ B µ X. •®«¥¥ ®¡é®, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® X à §¤¥«ï¥â £à ä G, ¨ - §ë¢ âì X à §¤¥«ïî騬 ¬-®¦¥á⢮¬ ¢ G, ¥á«¨ X à §¤¥«ï¥â ¢ G ª ª¨¥--¨¡ã¤ì ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¨§ G¡X. ‚¥àè¨- , à §¤¥«ïîé ï ¤¢¥ ¤à㣨¥ ¢¥àè¨-ë ᢮¥© ª®¬¯®-¥-âë, - §ë- ¢ ¥âáï à §¤¥«ïî饩 ¢¥àè¨-®© (¨«¨ â®çª®© á®ç«¥-¥-¨ï), ॡà®, à §¤¥«ïî饥 ᢮¨ ª®-æë,

9

¥áâì ¬®áâ. ˆ- ç¥ £®¢®àï, ¬®áâë ¢ £à ä¥ áãâì ⥠¨ ⮫쪮 ⥠ॡà , ª®â®àë¥ -¥ «¥¦ â - 横«¥.

•¨á. 4.2. ƒà ä á à §¤¥«ïî騬¨ ¢¥àè¨- ¬¨ v; x; y; w ¨ ¬®á⮬ e = xy

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.4. ƒà ä G - §ë¢ ¥âáï k¡á¢ï§-ë¬ (¯à¨ -¥ª®â®à®¬ k 2 N), ¥á«¨ jGj > k ¨ G ¡ X á¢ï§¥- ¤«ï «î¡®£® ¬-®¦¥á⢠X µ V c jXj < k. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, -¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¢ G -¥ à §¤¥«¥-ë ¬¥-ìè¥, 祬 k ¤à㣨¬¨ ¢¥àè¨- ¬¨.

Š ¦¤ë© (-¥¯ãá⮩) £à ä 0-á¢ï§¥-, 1-á¢ï§-ë¥ £à äë áãâì -¥âਢ¨ «ì-ë¥ á¢ï§-ë¥ £à äë. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.5. • ¨¡®«ì襥 楫®¥ k, ¯à¨ ª®â®à®¬ G ï¥âáï k¡á¢ï§-ë¬, ¥áâì ¥£®

á¢ï§-®áâì ·(G).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¢ï§-®áâì £à ä { - ¨¬¥-ì襥 ç¨á«® ¢¥àè¨-, 㤠«¥-¨¥ ª®â®àëå ¯à¨¢®¤¨â ª -¥á¢ï§-®¬ã ¨«¨ ®¤-®¢¥àè¨--®¬ã £à äã. ·(G) = 0, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ G -¥á¢ï§¥- ¨«¨

•¨á 4.3. Žªâ í¤à G (á«¥¢ ) á ·(G) = ¸(G) = 4 ¨ £à ä H á ·(H) = 2, -® ¸(H) = 4

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.6. …᫨ jGj > 1 ¨ G¡F á¢ï§¥- ¤«ï «î¡®£® ¬-®¦¥á⢠F µ E á ¬¥-¥¥ 祬 l à¥¡à ¬¨, â® G - §ë¢ ¥âáï l-ॡ¥à-®-á¢ï§-ë¬. • ¨¡®«ì襥 楫®¥ l â ª®¥, çâ® G ï¥âáï l-ॡ¥à-®-á¢ï§-ë¬, ¥áâì ॡ¥à- ï á¢ï§-®áâì ¸(G) £à ä G. ‚ ç áâ-®áâ¨, ¨¬¥¥¬ ¸(G) = 0, ¥á«¨ G -¥á¢ï§¥-.

„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ॡ¥à- ï á¢ï§-®áâì ¥áâì - ¨¬¥-ì襥 ç¨á«® ॡ¥à, 㤠«¥-¨¥ ª®â®àëå ¯à¨¢®¤¨â ª -¥á¢ï§-®¬ã £à äã.

•®«ìè ï ¬¨-¨¬ «ì- ï á⥯¥-ì £à ä -¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â -¨ ¢ë᮪®© á¢ï§-®áâ¨, -¨ ¤ ¦¥ ¢ë᮪®© ॡ¥à-®© á¢ï§-®áâ¨, ®¤- ª® ®- ¢«¥ç¥â áãé¥á⢮¢ -¨¥ ¯®¤£à ä ¡®«ì让 á¢ï§-®áâ¨.

’¥®à¥¬ 4.2. (Œ ¤¥à, 1972). Š ¦¤ë© £à ä á।-¥© á⥯¥-¨ -¥ ¬¥-¥¥ 4k ᮤ¥à¦¨â k¡á¢ï§-ë© ¯®¤£à ä.

„®ª § ⥫ìá⢮. •à¨ k 2 f0; 1g ã⢥ত¥-¨¥ âਢ¨ «ì-®; à áᬮâਬ k ¸ 2 ¨ £à ä G = (V; E) á jV j = n ¨ jEj = m. „«ï ®¡«¥£ç¥-¨ï ¨-¤ãªæ¨¨ ¤®ª ¦¥¬ ¡®«¥¥ ᨫì-®¥ ã⢥ত¥-¨¥, ¨¬¥--®, çâ® G ¨¬¥¥â k-á¢ï§-ë© ¯®¤£à ä ¯à¨ «î¡ëå

(i) n ¸ 2k ¡ 1 ¨

10