Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Аналитическая геометрия (1, 11, 28)

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
37.6 Кб
Скачать

Векторы. Практические материалы к Лекции 2.

Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва -

Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002. – 384 с.

 

 

11 На стороне

−−→

параллелограмма

 

отложен отрезок −−→ =

5

−−→, а на диагонали

 

 

AD

 

ABCD

 

AK

1

AD

−→ – отрезок

 

 

 

 

−→

= 6

−→. Доказать, что векторы −−→ и

−→ коллинеарны и найти отношение

AC

AL

1

AC

 

KL

LB

 

 

 

 

 

 

KL

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→

 

 

 

 

 

 

 

 

LB .

 

 

 

 

 

 

 

 

−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Рисунок 1. Возьмем в качестве базисных векторов неколлинеарные векторы

−→

и

−−→

и найдем разложение по базису для векторов

−−→

и

−→.

 

 

 

AB

 

AD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KL

 

LB

 

 

 

 

 

 

−→

=

−→

+

−−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC

 

AB

 

AD,

 

−−→

+ 6

(−→ + −−→) =

 

 

 

−−→

=

−−→

+

−→

= 5

 

 

 

KL

 

KA

 

AL

 

 

1

AD

 

1

AB

AD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 5

−−→ +

6

−→

+ 6

 

−−→

= 6

−→

30

−−→

 

 

 

 

 

1

 

AD

1

AB

1

 

AD

 

1

AB

1

 

AD,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−→

=

−→ + −→

= 6

(−→ + −−→) +

−→

=

 

 

 

 

 

LB

 

LA

AB

 

 

1

AB

 

AD

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6

−→

6

 

−−→

+ −→

=

6

−→

6

−−→

 

 

 

 

 

1

 

AB

1

 

AD

AB

 

 

5

AB

1

 

AD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KL

1

LB

 

 

KL

−−→

Получили, −→

= 5−−→, значит, эти векторы действительно коллинеарны, и

LB

=

5

.

 

 

 

 

−→

 

 

 

KL

 

1

 

 

 

 

 

Ответ: −−→ =

 

.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

LB

 

 

 

 

 

−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28 Установить, в каких из нижеследующих случаев тройки векторов a, b и c будут ли-

нейно зависимыми, и в том случае, когда это возможно, представить вектор c как линейную

комбинацию векторов a и b:

1. a = {5, 2, 1}, b = {−1, 4, 2}, c = {−1, −1, 6};

2. a = {6, 4, 2}, b = {−9, 6, 3}, c = {−3, 6, 3};

3. a = {6, −18, 12}, b = {−8, 24, −16}, c = {8, 7, 3}.

Решение.

1. Если мы составим определитель, в котором построчно запишем координаты векторов a,

b и c, то по свойству определителя для линейно зависимых векторов такой определитель равен нулю, а для линейно независимой тройки – не равен нулю.

 

5

 

2

1

 

 

 

 

 

 

4

2

 

= 120

 

4 + 1 + 4 + 12 + 10 = 143 = 0,

 

1

 

 

 

1

 

1

6

 

 

̸

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этом случае векторы

a, b и c линейно

независимы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2.

 

6

4

2

 

 

 

 

 

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

3

 

 

 

1

 

= 0,

 

 

 

 

 

9

= 2

·

·

3

3 2

 

 

 

 

 

 

3

6

3

 

 

 

1 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,

 

и c

линейно зависимы.

 

так как есть одинаковые столбцы. Следовательно,

векторы

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем коэффициенты α и β линейной комбинации c = αa + βb; перепишем равенство

 

покоординатно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

6α − 9β,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

6 = 4α + 6β,

3 = 2α + 3β.

Из первых двух уравнений (третье уравнение совпадает со вторым) находим

 

 

 

 

 

1 = 2α − 3β,

α =

1

, β =

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ 3 = 2α + 3β,

 

2

 

3

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, c =

2

a +

3

b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

6

18

 

12

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

24

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как первая и вторая строки пропорциональны, следовательно, векторы a и b коллине-

арны. Значит, тройка векторов

 

 

линейна зависима, но представить вектор c в виде

a, b и c

линейной комбинации векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a и b невозможно, поскольку a и b коллинеарны, а вектор

c им неколлинеарен.

Ответ:

1. векторы линейно независимы;

12

2.векторы линейно зависимы, c = 2 a + 3 b;

3.векторы линейно зависимы, представление невозможно.

Для самостоятельного решения – задача 30.

2

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.