Аналитическая геометрия (1, 11, 28)
.pdfВекторы. Практические материалы к Лекции 2.
Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва -
Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002. – 384 с. |
|
|
||||||
11 На стороне |
−−→ |
параллелограмма |
|
отложен отрезок −−→ = |
5 |
−−→, а на диагонали |
||
|
|
AD |
|
ABCD |
|
AK |
1 |
AD |
−→ – отрезок |
|
|
|
|
||||
−→ |
= 6 |
−→. Доказать, что векторы −−→ и |
−→ коллинеарны и найти отношение |
|||||
AC |
AL |
1 |
AC |
|
KL |
LB |
|
|
|
|
|
|
|||||
KL |
|
|
|
|
|
|
|
|
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
LB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Рисунок 1. Возьмем в качестве базисных векторов неколлинеарные векторы |
−→ |
||||||||||||||||||||||
и |
−−→ |
и найдем разложение по базису для векторов |
−−→ |
и |
−→. |
|
|
|
AB |
|||||||||||||||
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KL |
|
LB |
|
|
|
|
||||
|
|
−→ |
= |
−→ |
+ |
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
AB |
|
AD, |
|
−−→ |
+ 6 |
(−→ + −−→) = |
|
|||||||||||||
|
|
−−→ |
= |
−−→ |
+ |
−→ |
= −5 |
|
||||||||||||||||
|
|
KL |
|
KA |
|
AL |
|
|
1 |
AD |
|
1 |
AB |
AD |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= −5 |
−−→ + |
6 |
−→ |
+ 6 |
|
−−→ |
= 6 |
−→ − |
30 |
−−→ |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
AD |
1 |
AB |
1 |
|
AD |
|
1 |
AB |
1 |
|
AD, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−→ |
= |
−→ + −→ |
= −6 |
(−→ + −−→) + |
−→ |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
LB |
|
LA |
AB |
|
|
1 |
AB |
|
AD |
|
AB |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= −6 |
−→ − |
6 |
|
−−→ |
+ −→ |
= |
6 |
−→ |
− 6 |
−−→ |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
AB |
1 |
|
AD |
AB |
|
|
5 |
AB |
1 |
|
AD. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
KL |
1 |
||
LB |
|
|
KL |
−−→ |
|||
Получили, −→ |
= 5−−→, значит, эти векторы действительно коллинеарны, и |
LB |
= |
5 |
. |
||
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
KL |
|
1 |
|
|
|
|
|
Ответ: −−→ = |
|
. |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
LB |
|
|
|
|
|
||
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 Установить, в каких из нижеследующих случаев тройки векторов a, b и c будут ли- |
|||||||
нейно зависимыми, и в том случае, когда это возможно, представить вектор c как линейную
комбинацию векторов a и b:
1. a = {5, 2, 1}, b = {−1, 4, 2}, c = {−1, −1, 6};
2. a = {6, 4, 2}, b = {−9, 6, 3}, c = {−3, 6, 3};
3. a = {6, −18, 12}, b = {−8, 24, −16}, c = {8, 7, 3}.
Решение.
1. Если мы составим определитель, в котором построчно запишем координаты векторов a,
b и c, то по свойству определителя для линейно зависимых векторов такой определитель равен нулю, а для линейно независимой тройки – не равен нулю.
|
5 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
4 |
2 |
|
= 120 |
|
4 + 1 + 4 + 12 + 10 = 143 = 0, |
|
1 |
|
|
− |
|||||
|
−1 |
|
1 |
6 |
|
|
̸ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этом случае векторы |
a, b и c линейно |
независимы. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2. |
|
6 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
= 0, |
|
|
|
|||
|
|
9 |
= 2 |
· |
· |
3 |
3 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
−3 |
6 |
3 |
|
|
|
−1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, |
|
и c |
линейно зависимы. |
|
так как есть одинаковые столбцы. Следовательно, |
векторы |
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем коэффициенты α и β линейной комбинации c = αa + βb; перепишем равенство |
|||||||||||||||||
|
покоординатно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
6α − 9β, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 = 4α + 6β,
3 = 2α + 3β.
Из первых двух уравнений (третье уравнение совпадает со вторым) находим
|
|
|
|
|
1 = 2α − 3β, |
α = |
1 |
, β = |
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
{ −3 = 2α + 3β, |
|
2 |
|
3 |
||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, c = |
2 |
a + |
3 |
b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
6 |
18 |
|
12 |
= 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
−24 |
|
16 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как первая и вторая строки пропорциональны, следовательно, векторы a и b коллине- |
||||||||||||||
арны. Значит, тройка векторов |
|
|
линейна зависима, но представить вектор c в виде |
|||||||||||
a, b и c |
||||||||||||||
линейной комбинации векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a и b невозможно, поскольку a и b коллинеарны, а вектор |
||||||||||||||
c им неколлинеарен.
Ответ:
1. векторы линейно независимы;
12
2.векторы линейно зависимы, c = 2 a + 3 b;
3.векторы линейно зависимы, представление невозможно.
Для самостоятельного решения – задача 30.
2