Алгебра экз. (13-14)
.pdfВопросы к экзамену по алгебре (2013-14)
1. Отображение. Виды отображений. Декартово произведение множеств. Декартова степень множества. Операция арности на множестве. Универсальная алгебра. Примеры универсальных алгебр.
2.Аксиомы группы (мультипликативная и аддитивная формы записи), простейшие свойства группы.
3.Подстановка. Симметрическая группа.
4.Цикл. Разложение подстановки в произведение попарно независимых циклов.
5.Декремент. Теорема о четности подстановки, умноженной на транспозицию. Доказать, что чётность подстановки совпадает с чётностью числа транспозиций в разложении подстановки.
6.Инверсии. Доказать, что чётность подстановки совпадает с чётностью суммарного числа инверсий в верхней и нижней строках подстановки.
7.Подгруппа. Доказать, что множество всех чётных подстановок симметрической группы образует подгруппу и определить её порядок.
8.Матрица. Виды матриц. Операции над матрицами. Сформулировать свойства операций и уметь доказывать любое из них. Доказать ассоциативность умножения матриц.
9. Аксиомы кольца. Кольцо матриц порядка Обратимые матрицы. Доказать, что множество всех обратимых матриц кольца образует группу (мультипликативная группа кольца). Нахождение обратной матрицы методом выражения одного столбца неизвестных через другой.
10.Определитель матрицы. Вывести из определения формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
11.Доказать неизменность определителя при транспонировании матрицы.
12.Доказать, что определитель сменит знак, если поменять местами любые две его строки.
13.Сформулировать и доказать свойства определителя.
14.Миноры и их алгебраические дополнения. Доказать формулы разложения определителя по строке и столбцу (с леммой).
15.Эквивалентные матрицы. Приведение матрицы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Определитель произведения матриц. Определитель Вандермонда.
16.Обратная матрица. Доказать теорему об обратной матрице и вывести формулы Крамера для нахождения решения системы линейных уравнений.
17.Поле комплексных чисел. Основные свойства. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
18.Свойства операции сопряжения комплексного числа. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Геометрическая интерпретация модуля разности комплексных чисел.
19.Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
20.Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком. Корень многочлена. Теорема Безу и её следствие. Схема Горнера.
21.Алгоритм Евклида. Теоремы о наибольшем общем делителе.
22.Кратные корни многочлена. Основная теорема алгебры. Формулы Виета.
23.Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
24.Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над R.
25.Лемма Гаусса о примитивных многочленах.
26.Эквивалентность неприводимостей над Q и над Z.
27.Критерий Эйзенштейна.
28.Рациональные дроби.
29.Основная теорема о симметрических многочленах (существование).
30.Основная теорема о симметрических многочленах (единственность).