3. Корреляционная функция структуры композита с пластинчатыми включениями

3.1. Расчет корреляционной функции

Корреляция – статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). Численной мерой корреляции служит коэффициент корреляции (для случайных величин) и корреляционная функция (для случайных процессов) [3].

Пусть имеется квазипериодическая структура композита с пластинчатыми включениями (рис. 6).

ρ

Т

Рис.6. Наложение квазипериодической структуры композита на периодическую со смещением ρ.

Согласно рис. 6: ρ – величина смещения; Т – период ячейки.

Расчет двухточечной нормированной корреляционной функции находится по известной формуле [1]:

где - статистический двухточечный момент, находится через индикаторные функцииi-й и j-й фазы

.

Таким образом, решение двухточечной корреляционной функции через ряд известных преобразований можно найти по следующей формуле [1, 2]

.

Для данной упрощенной структуры композита с пластинчатыми включениями расчет можно осуществлять как

. (10)

Как было указано ранее, - величина, принадлежащая промежутку [0,1].

Для нахождения нормированной корреляционной функции необходимо выразить величину относительного объемного содержания пересечений включений при мысленном наложении квазипериодической структуры на периодическую.

где величина l представлена как функция, зависящая от вектора смещения ρ, l₁₁ = l₁₁(ρ). Функция l₁₁(ρ) имеет реализации Т-ρ и ρ с вероятностями и. Осредненное значениеl находится как сумма произведений реализаций на вероятность соответственно.

Находим :

через некоторые преобразования, получим:

. (11)

Полученную формулу для v₁₁ (11) подставляем в выражение для корреляционной функции (10):

(12)

Необходимо полагать, что полученная формула для корреляционной функции структуры композита с пластинчатыми включениями (12) действительна на участке 0 < ρ < T. На остальном участке при ρ ≥ Т, корреляционная функция равна нулю, т.к. при величине ρ, совпадающей с периодом ячейки композита, относительное объемное содержание пересечений включений будет равно квадрату относительного объемного содержания включений в ячейке.

На рис. 7 представлен график корреляционных функции в зависимости от величины ρ/T.

k(ρ/T)

ρ/T

Рис. 7. Нормированные корреляционные функции k(ρ/T) композита с пластинчатыми включениями для v₁ = 0,9 (1), v₁ = 0,4 (2), v₁ = 0,2 (3).