2.1. Коэффициент периодичности

Существуют множество различных квазипериодических структур пьезокомпозита, например, сферокомпозит, волокнистый композит, композит с ориентированными пластинчатыми включениями (см. рис.1), композит с эллипсоидальными включениями, и др.

а б в

Рис.1. Квазипериодические структуры сферокомпозита (а), однонаправленного волокнистого композита в гексагональной ячейке (б) и композита с ориентированными пластинчатыми включениями (в).

В курсовой работе рассматривается более подробно квазипериодическая модель композита с ориентированными пластинчатыми включениями (рис. 1, в), когда форма и размер однородных включений детерминированы, а их случайные положения заданы вероятностным законом для вектора а случайных отклонений центров включений, ориентированных вдоль оси r₃, от узлов заданной периодической решетки. Свойство квазипериодичности структуры и независимость случайных отклонений а для различных ячеек позволяет перейти к рассмотрению одиночной ячейки квазипериодичности на рис.2.

L

a

h

Н

а б

Рис. 2. Фрагмент сетки (а), одиночная ячейка (б) композита с пластинчатыми включениями.

Согласно рис. 2, б : Н – высота ячейки квазипериодичности; h – толщина включения; L – длина ячейки и включения; а – вектор смещений (отклонений) включения.

Пусть вектор отклонений а ориентированных пластинчатых включений лежит на оси r₃, тогда его координата а₃ распределена по равномерному закону на отрезке [0;∆] , тогда а₁ = а₂ = 0.

, (1)

где k принадлежит отрезку [0;1] – степень разупорядоченности пластинчатых включений, ∆_max - максимальное значение вектора смещений.

(2) значение ∆_max задано на основании того, что включение не должно выходить из ячейки, тогда

(1.1)

Как известно, коэффициент периодичности p находится по формуле [1]

, (3)

где – относительное объемное содержание включений в ячейке, V₁₁ – относительное объемное содержание пересечений включений в ячейке.

Коэффициент периодичности характеризует степень разупорядоченности, зависящей от относительного объемного содержания включений в ячейке и их пересечений. V₁₁ в свою очередь характеризует упорядоченность квазипериодической структуры, ее геометрический смысл: при мысленном наложении квазипериодической структуры на периодическую [1, 2]. Задача вычисления коэффициента периодичности p сведена к расчету характеристики упорядоченности V₁₁.

- есть отношение толщины включения к высоте ячейки квазипериодичности, принадлежит промежутку [0;1].

- есть отношение осредненного значения площади пересечения включений к площади ячейки (для плоских моделей). Таким образом, задача нахождения V₁₁ сводится к задаче осреднения S₁₁. Представим S₁₁ в виде функции зависимости от вектора смещений а, S₁₁ = S₁₁(a).

Осредненное значение <S₁₁> находится по следующей формуле, выведенной ранее [1] (4)

Пусть закон разупорядоченности, т.е. функция плотности вероятностей f(a) будет задана по равномерному закону на отрезке [0;∆], (рис. 3.).

f(a)

0 ∆ a

Рис. 3. Графическое представление равномерного закона функции плотности вероятностей f(a).

Таким образом, подставив значение функции плотности вероятностей f(a) в формулу (4), получим:

(4.1)