3.Линейное программирование. Симплекс-метод.

Постановка задачи:

Требуется решить задачу линейного программирования двухэтапным симплекс-методом.

Теоретические сведения:

Стандартный симплекс-метод:

Целевая функция и ее ограничения имеют вид:

Ограничения, с помощью элементарных преобразований, принимают вид:

Определение 3.1

Частное решение соответствующее нулевым свободным (небазисным) переменным, т.е. , называется базисным решением и записывается как:

Определение 3.2

Если все – то решение допустимое базисное

Определение 3.3

Решение задачи представимо в виде , где

Допустим нам известно решение в угловой точке , тогда возможны 3 взаимоисключающих случая решения задачи:

1. Если , то- оптимальное решение

2. Если , то задача не имеет решения

3. Если , то

Шаги симплекс-метода:

1. Проверка на оптимальность и разрешимость

2. Выбор ведущего столбца (для задачи на минимум)

3. Выбор ведущей строки по симплексному отношению , гдеr-ведущая строка,

s- ведущий столбец.

4. Построение более предпочтительного вида (переход к другому базису):

-

-Удаляем переменную из других ограничений, используя метод Жордана-Гаусса, и пере ходим к 1)

Двухэтапный симплекс-метод:

Искусственные переменные вводятся как:

После введения искусственных переменных решается вспомогательная задача:

Этапы: 1) Нахождение вспомогательного решения

2)Нахождение основного решения

Решение:

Этап 1:

Для начала избавимся от неравенств в ограничениях и введем искусственную переменную, например, во второе уравнение:

Теперь сформулируем вспомогательную задачу:

Напомним, что для данной задачи оценки берутся максимальные, т.е. .

Составляем таблицу и выбираем ведущий столбец и строку по и минимальному симплексному отношению :

БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	ПЧ	СО
x5	-1	3	1	10	1	0	0	0	25	5/2
x8	2	1	1	<5>	0	1	0	1	10	2
x7	10	2	2	-5	0	0	1	0	26	-26/5
	2	1	1	5	0	1	0	0	10	-

Обнуляем все элементы столбца, кроме разрешающего коэффициента:

БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	ПЧ	СО
x5	-5	1	-1	0	1	-2	0	-2	5	-
x4	2/5	1/5	1/5	1	0	1/5	0	1/5	2	-
x7	12	3	3	0	0	1	1	1	36	-
	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	-

Полагаем, что свободные переменные равны нулю, тогда решение:

Сделаем проверку:

Подставим точку в ограничения.

Ограничения выполняются:

Этап 2:

Решаем основную задачу:

Выделим базисные переменные и уберем их из целевой функции:

Тогда целевая функция примет вид:

Записываем симплекс-таблицу и повторяем тот же алгоритм:

БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	ПЧ	СО
x5	-5	1	-1	0	1	-2	0	5	-1
x4	2/5	1/5	1/5	1	0	1/5	0	2	5
x7	12	3	3	0	0	1	1	36	3
	2	-1	-8	0	0	-3	0	-30	-

БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	ПЧ	СО
x5	0	9/4	1/4	0	1	-19/12	5/12	20	-
x4	0	1/10	1/10	1	0	1/6	-1/30	4/5	-
x1	1	1/4	1/4	0	0	1/12	1/12	3	-
	0	-3/2	-17/2	0	0	-19/6	-1/6	-36	-

Получаем решение:

Сделаем проверку:

Подставляя решение в ограничения получаем:

Т.о. найдено допустимое базисное решение исходной задачи.