8. Сведение задачи условной оптимизации к безусловной задаче оптимизации.

8.1. Метод внешних штрафных функций

Постановка задачи:

Требуется найти решение задачи:

Теоретические сведения:

Задача условной оптимизации:

Этот метод основан на сведении к последовательности задач, минимизации дополнительной функции:

- штрафная функция, зависящая от двух параметров,

- параметр штрафа.

С ростом номера k , штраф за невыполнение ограничений увеличивается

Штрафная функция записывается в виде:

- квадрат срезки (для ограничений типа неравенств).

- квадратичная функция.

На каждой k-ой итерации ищется точка - точка минимума вспомогательной функции.

Найденная точка используется как начальная точка на следующей итерации, выполняемой при большем

значении параметра штрафа .

Теорема 8.2.1 (о сходимости метода штрафных функций)

Пусть - точка локального минимума задачи условной минимизации

- непрерывные, дифференцируемые функции в окрестности точки .

Тогда последовательность точек , полученных на каждой итерации, сходится к точке условного

минимума.

Алгоритм метода

Шаг№1

Задается начальное приближение , начальный штраф, его обычно берут равным {0,01;0,1;1}.

Задается некоторая константа для увеличения .

Задается точность .

Шаг№2

Находим точку минимума функции, разработанным методом многомерной минимизации, в нашем

случае методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла.

Вычисляем величину штрафа , что есть критерий остановки поиска условного минимума.

Шаг№3

Проверка условия окончания поиска:

а) если ,то в качестве оптимальной точки выбираем.

б) иначе и в качестве нового приближения выбирается начальная точка в безусловной минимизации:

, k=k+1 => Шаг№1.

Результат работы программы:

Для разных точек, не принадлежащих допустимому множеству, минимум функции находится и он одинаков для разных точек, что говорит о правильности реализуемой программы.

В чистом виде исходная функция не имеет минимума, но т.к. вспомогательная функция квадратичная, то минимум находится.

Для точек, принадлежащих допустимому множеству, минимум функции не находится, т.к. функция не выпукла, т.е. не имеет минимума. Этот факт определяется по виду градиента этой функции и значению определителя матрицы Гессе.

8.2. Метод возможных направлений Зойтендейка

Постановка задачи:

Требуется найти решение задачи:

В общем виде она выглядит так:

Стратегия поиска:

Метод основан на построении последовательности точек , таких, что.

Правило построения точек последовательности :

- Выбор направления осуществляется следующим образом:

1)

2)

А) Вектор направляется внутрь области

Б) Вектор должен составлять с направление убывания наименьший угол

Определим множество индексов:

Если точка множество активных ограничений не пусто, то решается задача:

-Шаг определяется как:

Алгоритм:

1. Выбирается начальная точка из множества допустимых решений . Находими, если, то, иначе 2)

2. Определяем элементы множеств ,

3. Если ,

иначе:

4. Если , то завершаем, иначе 5)

5. Определяем шаг и находим следующую точку

Решение:

Итерация 0:

1. Выбираем точку ,которая принадлежит допустимому множеству

Вычисляем градиент целевой функции в начальной точке:

2. Множество активных ограничений и индексов, для которых координаты направления положительны пусты, т.е. .

3. Т.к. указанные в (2) множества пусты, то направление есть антиградиент в точке :

4. Теперь определяем шаг:

Находим градиенты ограничений:

Так как , то

Получаем, что до следующей точки равен

5. Получаем следующую точку:

Итерация 1:

Вычислим градиент в этой точке:

2. Проверим точку на принадлежность ограничениям. Точка принадлежит ограничения, причем есть одно активное ограничение

3. Для нахождения возможного направления составляем экстремальную задачу:

Преобразуем задачу к необходимому виду:

Решаем задачу симплекс-методом: Выбираем максимальную положительную оценку и минимальное неотрицательное симплексное отношение:

				u1	u2	ПЧ
2	-2	3	-3	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1
2/7	-2/7	1	-1	0	0	0
				u1	u2	ПЧ
2/3	-2/3	1	-1	1/3	0	0
1/3	5/3	0	2	-1/3	1	1
-8/21	8/21	0	0	-1/3	0	0

				u1	u2	ПЧ
4/5	0	1	-1/5	1/5	2/5	2/5
1/5	1	0	6/5	-1/5	3/5	3/5
-48/105	0	0	-16/35	-9/35	-8/35	-8/35

Получаем направление:

4. Теперь найдем шаг:

Получаем, что шаг:

5. Получаем следующую точку:

Итерация 2:

1. Выбираем начальной точкой точку:

Вычисляем градиент:

2. Проверим точку на принадлежность ограничениям. Точка принадлежит ограничения, причем есть одно активное ограничение

3. Находим направление :

Составляем экстремальную задачу.

Преобразуем к виду:

Решим симплекс-методом. Составляем таблицу.

				u1	u2	ПЧ
2	-2	3	-3	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1
2	-2	1	-1	0	0	0

				u1	u2	ПЧ
1	-1	3/2	-3/2	1/2	0	0
0	2	-1/2	5/2	-1/2	1	1
0	0	-2	2	-1	0	0

				u1	u2	ПЧ
1	1/5	6/5	0	1/5	3/5	3/5
0	4/5	-1/5	1	-1/5	2/5	2/5
0	-8/5	-8/5	0	-3/5	-4/5	-4/5

Получаем направление:

4. Находим шаг:

Получаем шаг:

5. Следующая точка:

Итерация 3:

1. Берем точку с прошлой итерации:

Вычисляем градиент:

2. Проверим точку на принадлежность ограничениям. Точка принадлежит ограничения, причем есть одно активное ограничение:

3. Находим направление:

Составляем таблицу.

				u1	u2	ПЧ
2	-2	3	-3	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1
2/3	-2/3	1	-1	0	0	0

				u1	u2	ПЧ
2/3	-2/3	1	-1	1/3	0	0
1/3	5/3	0	2	-1/3	1	1
0	0	0	0	-1/3	0	0

Получаем, что следовательно, т.к.свободные переменные, равные нулю, то направление:

, следовательно, точка - решение поставленной задачи. Переведя дроби в действительные числа, получаем:

Данная точка совпадает с ответом, полученным в результате программной реализации задачи методом внешних штрафных функций.