3. Аналіз алгоритмів роботи кодеків у системах із завадостійким кодуванням

1. Постановка задачі

­­­­

На вхід пристрою захисту від помилок апаратури передачі даних надходять сигнали у вигляді кодових комбінацій коректуючого коду Хемінга (9,5), який дозволяє виявити подвійні та виправляти поодинокі помилки. Відомо, що через вплив завад у кожній кодовій комбінації спотворений один елемент сигналу (1→0 або 0→1).

Необхідно:

1. Зробити аналіз кодової комбінації, визначити номер спотвореного елемента та значення переданого символу (букви), якщо джерелом сигналу є телеграфний апарат СТА-67М;

2. Визначити ймовірність помилкового прийому комбінації символів коду Хемінга та простого безнадлишкового коду, якщо на ймовірність прийому одного елемента сигналу без застосування завадостійкого кодування рівна p;

3. З’ясувати, у скільки разів поліпшилася завадостійкість завдяки використанню коректуючого коду.

2. Аналіз заданої комбінації, визначення спотвореного елемента та зашифрованого символу (букви)

Згідно умові варіанту задано наступну послідовність символів (С₁,…,С₉) та ймовірності p:

Варіант	С9	С8	С7	С6	С5	С4	С3	С2	С1	p
18	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0,007

Аналіз прийнятої кодової комбінації на предмет виявлення спотвореного елемента сигналу проводиться шляхом перевірки на парність сум відповідних елементів комбінації. З цією метою обчислюється значення елементів шумового вектора (синдрому послідовності) відповідно до алгоритму:

де знаком позначено операцію додавання за модулем 2.

Якщо у прийнятій комбінації є помилкові елементи, то умови перевірки на парність одиниць не виконуються, а отже у шумовому векторі будуть міститись ненульові елементи. Кодова комбінація цього вектора є номером спотвореного елемента прийнятої комбінації, записаним у двійковій системі числення. Перевівши його у десяткове число, та отримавши номер спотвореного елемента, необхідно змінити його на протилежний (1→0 або 0→1). Інформаційними елементами у прийнятій комбінації коректуючого коду Хемінга є елементи, що знаходяться під номерами 9,7,6,5 та 3.

Для заданої комбінації, компоненти шумового вектора матимуть значення:

S₁=0+0+1+1+0=0

S₂=1+0+0+1=0

S₃=1+1+0+1=1

S₄=0+0=0

Тобто(S₁, S₂, S₃, S₄) = (0,1,0,0). Номер спотвореного елементу: 0100₂=4₁₀.

Таким чином, правильна послідовність символів у коректуючому коді Хемінга має вид:

С9	С8	С7	С6	С5	С4	С3	С2	С1
0	0	1	0	1	0	0	1	0

Зашифроване повідомлення (код символу):

С9	С7	С6	С5	С3
0	1	0	1	0

Згідно таблиці кодів МТК-2, визначаємо, що заданій комбінації відповідає символ «P».

3.3. Розрахунок ймовірності помилкового прийому комбінації коду Хемінга та простого безнадлишкового коду мтк-2.

Під час передачі цифрових сигналів, через вплив завад, трапляється ситуація, коли кодова комбінація виявляється спотвореною. Дане явище підпорядковується статистиці Бернуллі, а отже, може бути розрахованою за формулою:

де p – ймовірність помилкового прийому одного елемента комбінації, n – довжина кодової комбінації (n=9 для коду Хемінга, та n=5 для коду МТК-2),

i – ціле число, що визначає кратність помилок ( для коду МТК-2 та для коду Хемінга),- число сполучень зn по i визначається за формулою:

Розрахуємо значення для n=5 та n=9:

n	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
5	5	10	10	5	1	-	-	-	-
9	-	36	84	126	126	84	36	9	1

Ймовірність неправильного прийому кодової комбінації коду МТК-2:

P_{пом. МТК-2}=0,283

Ймовірність неправильного прийому кодової комбінації коду Хемінга:

P_{пом. Хемінга}=0,116

Таким чином, завдяки коректуючому коду завадостійкість покращилася у P_{пом. МТК-}2/ P_{пом. Хемінга} =2,43965разів.