1. Розрахунок основних параметрів і характеристик цсп з ікм

1. Постановка задачі

На вхід аналогово-цифрового перетворювача ЦСП з ІКМ поступає один інформаційний аналоговий сигнал з верхньою частотою спектру F_В, динамічним діапазоном амплітуд D і середньою потужністю P_ср=1Вт.

Використовуваний АЦП забезпечує потужність шуму квантування P_ш.кв, що вважається заданою.

Необхідно:

1. Описати процеси, яким піддається аналоговий сигнал в АЦП, при перетворенні в сигнал з ІКМ. Зобразити часові діаграми, що пояснюють ці процеси.

2. Розрахувати параметри АЦП: крок квантування, відношення середніх потужностей сигналу і шуму квантування, число рівнів квантування, довжину кодової комбінації.

3. Розрахувати параметри цифрового сигналу на виході АЦП: тривалість двійкового елемента сигналу, тривалість кодової комбінації, ширину спектру групового сигналу, швидкість передачі сигналу.

4. Розрахувати продуктивність джерела двійкових цифрових сигналів, припускаючи, що двійкові символи статистично незалежні, а ймовірність передачі символу «1» задана.

5. Побудувати графік залежності ентропії джерела двійкових сигналів від їхньої ймовірності передачі. Визначити по цьому графіку значення ентропії джерела, що відповідає заданій ймовірності Р(1).

6. Розрахувати припустиме значення ймовірності помилкового прийому двійкового символу, якщо задана вимога по припустимому значенню кількості помилково прийнятих квантових рівнів в одиницю часу M_пом.

Згідно з умовою варіанту, задано:

Варіант	N	П, дБ	h2ш.кв, дБ	Mпом	Pср., Вт
18	6	35	22	4,5	100

2. Опис роботи АЦП

Неперервні сигнали є найбільш розповсюдженими. До їх числа відноситься мова, рухомі та нерухомі зображення, різноманітні телеметричні параметри, характеристики положення у просторі об’єктів, та ін..

В наш час добре відомі три основні способи передачі неперервних повідомлень: аналоговий, імпульсний та цифровий. Сигнали, що використовуються у цифровій передачі повідомлень мають бути попередньо перетворені з аналогових таким чином, щоб інформативна частина повідомлення залишилась була незмінною. З цією метою аналогові сигнали піддаються дискретизації, квантуванню та кодуванню. Сукупність цих процесів називають імпульсно-кодовою модуляцією (ІКМ).

Головна ідея цифрової передачі полягає у тому, що відліки неперервного повідомлення (первинного сигналу), що розділені інтервалом часу , де F_В – максимальна частота у спектрі повідомлення, відображаються кодовими комбінаціями імпульсів напруги чи струму. Неперервне повідомлення перетворюється у послідовність кодових комбінацій, тобто у цифрову послідовність.

На рис. 1.1 зображено перетворення відліків неперервного повідомлення у кодові комбінації двійкових імпульсів.

Елементами кодових комбінацій є імпульси струму прямокутної форми та паузи між ними. Значення неперервного повідомлення с(t) у моменти відліків замінюється найближчими квантованими рівнями, які у свою чергу кодуються, тобто відображаються кодовими комбінаціями імпульсів b_k(t) у двійковій системі числення. Кодування здійснюється шляхом представлення у двійковому коді відповідних номерів квантованих рівнів.

Рис.1.1. Пояснення роботи АЦП

3. Розрахунок параметрів АЦП

Відношення середньої потужності сигналу, до потужності шуму квантування визначає відношення сигналу/шуму квантування h²_ш.кв:

.

Таким чином, отримаємо: P_{ш.кв .}= 100 / 22= 4,5 (Вт).

У системах ІКМ спотворення сигналів при їх відтворенні у приймачі обумовлені як дією адитивних завад, так і помилками, що вносяться квантуванням неперервного повідомлення. Процес квантування створює так званий шум квантування, середня потужність якого визначається формулою:

,

де δ – крок квантування неперервного повідомлення.

Звідки: δ ===8

З іншого боку,

Число рівнів квантування M, визначаємо за формулою:

П = 10 lg ,

П= 10 lg ,

М= == 6,3

Довжина кодової комбінації n, визначається з умови . Очевидно, що дана нерівність реалізується приn=2,65. Оскільки n – є цілим числом, то n=3.

Для того, щоб зобразити кодову комбінацію, що відповідає числу 60 (7-3=4), перетворимо його у двійкову систему:

4₁₀=0100₂

Отримане число є кодовою комбінацією, що відповідає заданому числу.

4. Розрахунок параметрів цифрового сигналу на виході АЦП

Згідно з умовою, задано верхню межу частоти спектру сигналу F_B. Згідно з теоремою Котельникова, частота дискретизації F_d повинна бути хоча б у два рази більшою, тобто F_{d і}= 2F_В. Тепер, користуючись формулою:

,

де N+2 – кількість каналів (два канальних інтервали при цьому передбачені для передачі синхронізації сигналів управління та взаємодії, N+2=3).

Оскільки:

М =0,816

Виходячи з цієї формули, ми отримуємо = 510²

Таким чином неважко знайти тривалість передачі двійкового елементу цифрового сигналу з ІКМ у багатоканальній системі передачі:

==8 10^-5

Тривалість кодової комбінації знаходиться як добуток тривалості передачі двійкового елементу на кількість елементів у кодовій комбінації:

Т_к = n = 3810^-5 = 2,4 10^-4

Ширина спектру сигналу з ІКМ приблизно рівна швидкості передачі цифрового сигналу з ІКМ, дорівнює:

= V = ==0,12510⁴ (Гц)

5. Побудова графіку для ентропії джерела двійкових сигналів та розрахунок продуктивності джерела цифрового сигналу

Нехай дискретне джерело видає послідовність символів довжиною n з алфавітом обсягом m. Тоді кількість можливих послідовностей довжиною n рівна n^m. Припустимо, що ймовірності P(a_i[n]) появи цих послідовностей задані. Кількість інформації, яка міститься в послідовності a_i[n] довжини n є випадковою величиною, і дорівнює: .

Припустимо, що всі повідомлення незалежні та несумісні, а також, крім цього . Вважатимемо, що шуми в каналі передачі відсутні. Тоді, кількість інформації, що несе повідомленняa_i рівне:

.

У відповідності до правил теорії ймовірностей, середня кількість інформації, що міститься в одному символі, дорівнює математичному сподіванню величини I(a_­i), тобто:

.

Дану формулу можна переписати у вигляді:

.

Дана величина називається ентропією джерела повідомлень, і характеризує міру невизначеності сукупності повідомлень даного джерела.

Розглянемо випадок, повідомлення можуть приймати значення 0 та 1, з ймовірностями P(0) та P(1)=1-P(0). Згідно з умовою варіанту: P(1)=p=0,811.

Тоді:

.

Графік залежності H(a) від p наведено на рис. 1.2.

З отриманого графіка визначаємо, що ймовірності P(1) відповідає значення ентропії H=0,899.

Рис.1.2. Графік залежності H(a) від p

Аналіз виразу для ентропії вказує на те, що при заданому n, функція H(a) максимальна і дорівнює H_max(a)=logn тоді, коли всі повідомлення рівно ймовірні, тобто: , що відповідає найбільшій невизначеності. Продуктивність джерела двійкових цифрових сигналів рівна:

R_d = VH = 1,2510³0,899=1,12410³

Визначимо припустиме значення ймовірності помилкового прийому двійкового символу. Середня кількість помилково прийнятих квантованих рівнів M_пом пов’язана з ймовірністю помилки P_пом співвідношенням:

P_пом. = = 0,005= 510^-5