
- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур)
- •2012 Реферат
- •Томский государственный университет систем управления ирадиоэлектроники
- •На курсовую работу по дисциплине ''Теория вероятностей и математическая статистика"
- •Часть I.
- •Часть II.
- •2012 Содержание
- •1 Постановка задачи
- •Часть I.
- •Часть II
- •2. Часть I
- •2.1 Теоретический обзор
- •Распределение Стьюдента
- •2.2 Расчеты
- •2.3. Выводы
- •3. Часть II
- •3.1 Теоретические обзор
- •3.2 Расчеты
- •3.3 Выводы
- •4. Заключение
- •5. Список использованных источников
2. Часть I
2.1 Теоретический обзор
Теория оценок
Параметры законов распределения обычно оцениваются по выборке, т.е строится функция выборочных данных, которая мало отличается от истинного значения параметра. Существуют разные способы оценивания. Основными являются точечные и интервальные оценки параметров закона распределения.
1. Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом.
Способы точечного оценивания:
Метод моментов.
Метод максимального правдоподобия
Точечные оценки характеризуются следующими свойствами:
Смещение. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра.
Состоятельность. При достаточно больших объемах выборки оценка параметра стремится к истинному значению по вероятности.
Эффективность. Та оценка, у которой дисперсия минимальна, называется эффективной оценкой.
Для точечных оценок математического ожидания и дисперсии были найдены следующие формулы:
Где n – объем выборки
2. Интервальное оценивание - оценка, представляемая интервалом значений, внутри которого, с задаваемой исследователем вероятностью, находится истинное значение оцениваемого параметра.
Главную роль в таком оценивании играет доверительный интервал.
Доверительный интервал – интервал, в котором находится истинное значение параметра с заданной вероятностью.
Вероятность того, что истинное значение лежит в интервале называетсядоверительной вероятностью (коэффициентом доверия) или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу.
Для построения доверительного интервала требуется знать:
1. Закон распределения статистики.
2. Точечную оценку параметров.
3. Уровень значимости
4. Квантиль P – значение случайной величины, при котором функция распределения равна P.
Формулы для расчета доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии:
Где
N объем выборки, msr
– точечная
оценка математического ожидания,
-
квантиль распределения Стьюдента уровня
1-a/2 и степенями свободы N-1, S2
– точечная оценка дисперсии,
(N-1)-
квантиль распределения хи - квадрат
Пирсона уровня 1-а/2, и степенями свободы
(N-1).
Квантили этих распределений табулированы.
Критерий
согласия
Пирсона
Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими (ожидаемыми) частотами, рассчитываемыми по формулам теоретического распределения.
Условия применения:
объем выборки
,
выборочные данные сгруппированы в
интервальный вариационный ряд с числом
интервалов не менее 7, ожидаемые
(теоретические) частоты интервалов не
должны быть меньше 5.
Гипотеза Н0:
— плотность распределения
генеральной совокупности, из которой
взята выборка, соответствует теоретической
модели нормального распределения.
Альтернатива Н1:
Уровень значимости:
.
Порядок, применения:
1. Формулируется
гипотеза, выбирается уровень значимости
.
2. Получается
выборка объема
независимых наблюдений и представляется
эмпирическое распределение в виде
интервального вариационного ряда.
3. Рассчитываются
выборочные характеристики
и
S. Их используют в качестве генеральных
параметров и нормального распределения,
с которым предстоит сравнить эмпирическое
распределение.
4. Вычисляются значения теоретических частот попадания в i-й интервал группировки. Для этого необходимо вычислить:
где Ф0(u) — функции Лапласа, xвi и хнi — верхняя и нижняя границы i-го интервала группировки.
Если окажется, что
вычисленные ожидаемые частоты
некоторых интервалов группировки меньше
5, то соседние интервалы объединяются
так, чтобы сумма их ожидаемых частот
была больше или равна 5. Соответственно
складываются и эмпирические частоты
объединяемых интервалов.
5. Значение
-критерия
рассчитывается по формуле:
где ni — эмпирические
частоты;
–
ожидаемые (теоретические) частоты; k —
число интервалов группировки после
объединения.
6. Из таблиц
распределения
находится
критическое значение
критерия для уровня значимости
и
числа степеней свободы r = k-3
7. Вывод: если
то эмпирическое распределение не
соответствует нормальному распределению
на уровне значимости
,
в противном случае нет оснований отрицать
это соответствие.