Метод простой итерации

Для применения этого метода уравнение представляется в следующем виде:

Соответствующая итерационная формула имеет вид

.

Блок-схема алгоритма метода представлена на рис. 10. Простота метода простой итерации делает его привлекательным, однако не следует забывать, что и этому методу присущи недостатки, так как он не всегда обеспечивает сходимость. Поэтому для любой программы, в которой используется этот алгоритм, необходимо предусматривать контроль сходимости и прекращать счет, если сходимость не обеспечивается.

Рис.10. Блок-схема алгоритма метода простой итерации.

2. Приближенные вычисления определенных интегралов.

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла при помощи нескольких значений интегрируемой функции. Будем строить вычислительные правила следующего вида:

.

Данная формула называется формулой механических квадратур, - квадратурной суммой, А_j- квадратурными коэффициентами, х_j- узлами или абсциссами квадратурного правила.

Остаточным членом квадратурного правила называется величина

.

Возможны различные подходы к построению квадратурных формул.

Формула прямоугольников

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа нулевого порядка (рис.11), построенным по значению в средней точке отрезка[a,b], т.е.и. Тогда

и , где[a,b].

Рис.11. Интегрирование по формуле треугольников

Разделим [a,b] наmравных частей длины. К каждому частичному отрезку [a+ih,a+(i+1)h] применим формулу прямоугольников, сложив результаты, получим обобщенную формулу прямоугольников

.

Формула трапеций

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом первого порядка (рис.12), построенным по значениям в точках а иb. Тогда

и , где [a,b].

Рис.12. Интегрирование по формуле трапеций

Разделим [a,b] наmравных частей длины. К каждому частичному отрезку [a+ih,a+(i+1)h] применим формулу трапеций, сложив результаты и обозначив, получим обобщенную формулу трапеций

.

Формула Симпсона (формула парабол)

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом второго порядка (рис.13), построенным по значениям в точках а,иb. Тогда

и ,

где [a,b].

Рис.13. Интегрирование по формуле Симпсона

Разделим [a,b] на четное числоmравных частей длины. К каждому частичному отрезку [a+(i-1)h,a+(i+1)h] применим формулу Симпсона, сложив результаты и обозначив, получим обобщенную формулу Симпсона

.

2. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ними при разработке новых изделий или технологических процессов, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных уравнений. В сущности, любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете, сводится к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительных машин. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчетов.

В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. Рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче — граничными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время. Примером может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на пружине. Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором независимой переменной является время t. Если дополнительные условия заданы в виде значений перемещения и скорости при t=0, то имеем задачу Коши. Для той же механической системы можно сформулировать и краевую задачу. В этом случае одно из условий должно состоять в задании перемещения по истечении некоторого промежутка времени. В краевых задачах в качестве независимой переменной часто выступает длина. Известным примером такого рода является дифференциальное уравнение, описывающее деформацию упругого стержня. В этом случае граничные условия обычно задаются на обоих концах стержня.