1.1 Постановка задачи

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у производителей (поставщиков), по потребителям этих ресурсов.

Экономическая постановка транспортной задачи линейного программирования сводится к следующему. Из некоторого пункта отправления надо перевезти определенное количество груза в ряд пунктов назначения. Известно, сколько груза имеется в пункте отправления и сколько требуется его в каждом пункте назначения. Расстояние от пункта отправления до каждого пункта назначения известно. Требуется определить, сколько груза необходимо перевезти и по какому маршруту, чтобы в каждый пункт назначения было доставлено требуемое количество груза, а общие затраты на его транспортировку были минимальными.

Математическая задача ставится так. Имеется n поставщиков (пунктов отправления груза) и m потребителей (пунктов назначения). [8]

Пусть - количество единиц продукта, поставляемого из пунктапункт. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:

. (5.1)

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправленных грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения:

(5.2)

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой, т. е.:

(5.3)

Для написания модели необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в виде математических уравнений. Все грузы из пунктов должны быть отправлены, т. е.:

(5.4)

Все j пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме :

(5.5)

суммарные объемы отправления должны равняться суммарным объемам назначения:

(5.6)

Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:

; (5.7)

Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортными издержками (функция цели):

(5.8)

В модели (5.4) – (5.8) вместо матрицы стоимостей перевозок () могут задаваться матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы.[4]

Транспортная задача сводится, таким образом, к минимизации суммарных затрат при выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления.

Задачи транспортного типа широко распространены в практике. Кроме того, к ним сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.[6]

Как одна из задач линейного программирования транспортная задача принципиально может быть решена универсальным методом решения любой задачи линейного программирования, но этот метод не учитывает специфики условий транспортной задачи. Поэтому решение ее симплекс-методом оказывается слишком громоздким.[5]

Структура ограничений задачи учитывается в ряде специальных вычислительных методов ее решения. Рассмотрим некоторые из них. Предварительно сделаем следующее замечание. Открытая транспортная модель может быть приведена к замкнутой модели добавлением фиктивного пункта отправления (потребления), от которого поступает весь недостающий продукт или в который свозится весь избыточный запас. Стоимость перевозок между реальными пунктами и фиктивным принимается равной нулю. Вследствие простоты перехода от открытой модели к замкнутой в дальнейшем рассматриваются методы решения замкнутой модели транспортной задачи.[4]

Как видно из выражения (5.7), уравнение является обязательным условием решения транспортной задач поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то необходимо привести к закрытой форме. В случае если

• потребности по пунктам назначения превышают запасы пунк­тов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостаю­щим объемом отправления;

• запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом потребления.[4]

Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.

Транспортным задачам присущи следующие особенности;

• распределению подлежат однородные ресурсы;

• условия задачи описываются только уравнениями;

• все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

• во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;

• каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.[9]