2.2. Примеры разложения в ряд Фурье реальных сигналов.

Приведем разложения в ряд Фурье некоторых, наиболее часто встречающихся периодических сигналов.

а). Сигнал на выходе однополупериодного выпрямителя (рис. 5)

U

U_m

t

0 T

Рис. 5

(18)

б). Сигнал на выходе двухполупериодного выпрямителя (рис. 6)

(19)

U

U_m

t

0 T

Рис. 6

в). Сигнал треугольной формы (рис. 7а, б)

U

T

T/2 t

Рис. 7а

(20)

U

U_m

-T/2 T/2

t

-T/4 0 T/4

Рис. 7б

(21)

г). Сигнал прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр) (рис.8 а,б)

U U U_m

U_m

T t -t

а) б)

Рис. 8

(n – целое, нечетное) (22)

(23)

Сигналы рис. 8 а, б идеализированы, т.к. имеют фронты бесконечно малой длительности. Практически такие сигналы не существуют, в точках разрыва, как отмечалось, ряды (22) и (23) не сходятся, но в среднем сходимость ряда обеспечивается.

д). Сигналы трапецеидальной формы (рис. 9).

U(t)

_ф

U_m

-T/2 T/2

t

-T/4 T/4

Рис. 9

(24)

обычно _ф Т, поэтому при малых n множитель . При этом амплитуды нескольких первых гармоник рядов (23) и (24) почти одинаковы. Нос ростомn амплитуды гармоник ряда (24) убывают быстрее, чем у ряда (23). Ряд Фурье для реального сигнала рис. 9 сходится быстрее.

е). Пилообразный сигнал (рис. 10).

Такой формы напряжение используется в схемах развертки осциллографа, телевизора, монитора. Ряд Фурье этого сигнала:

(25)

U

U_m

-T/2 -T/4 T/4 T/2

t

Рис. 10

ж). Последовательность коротких прямоугольных видеоимпульсов (рис.11)

U

U_m

-T/2 T/2

t

-T -T

рис. 11

(26)

здесь - скважность импульса.

з). Амплитудно-модулированный (АМ) сигнал при гармоническом законе модуляции.

, (26^/)

где - частота несущего колебания,- частота гармонического сообщения.

2.3. Спектральное представление сигналов.

Совокупность гармонических составляющих, образующих негармонический сигнал, называется спектром этого сигнала. Спектр можно было бы представить графически в виде совокупности временных кривых входящих в него гармоник, но такое изображение громоздко и малонаглядно, поэтому не используется. Вместо этого принято изображать спектр сигнала в виде линейчатой диаграммы, в которой на оси частот наносятся вертикальные отрезки, длина которых пропорциональна амплитуде данной гармоники, а её положение на оси частот определяется номером гармоники. Например, если некоторый периодический сигнал описывается рядом

, то спектр этого сигнала представляет рис.12.

100

50

25

₁ 2₁ 3₁ 

рис. 12

На этом спектре показаны соотношения амплитуд спектральных составляющих сигнала, поэтому спектр называется амплитудным. Аналогично можно строить фазные спектры, на которых по оси частот откладывают начальные фазы гармоник также в виде вертикальных отрезков в выбранном масштабе.

Так как ряд любого периодического сигнала состоит из гармоник, частоты которых в целое число раз отличаются от частоты первой гармоники, то спектральные линии находятся на одинаковом расстоянии  друг от друга (или ), которое равно частоте основной гармоники ₁ (или ₁). Спектры, состоящие из отдельных линий, называются дискретными или линейчатыми.

Приведем примеры спектров некоторых рассмотренных нами сигналов. Из (21) следует, что сигналы треугольной формы состоят из гармоник с нечетными номерами, амплитуды которых убывают пропорционально квадрату номера гармоники. Амплитуды в спектрах можно строить в относительных единицах. Если принять амплитуду первой гармоники за 1, то амплитуда второй гармоники , амплитуда 3-й гармоники в 1/3² меньше, чем первой, т.е. ,,и т.д. Спектр этого сигнала на рис. 13.

1

0,11

0,04

₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 

рис. 13

Из (22) спектр сигналов прямоугольной формы со скважностью 2 состоит из нечетных гармоник, амплитуды которых убывают пропорционально номерам гармоник. Поэтому амплитуды всех четных гармоник также равны нулю, а амплитуды нечетных гармоник по отношению к амплитуде первой гармоники, принятой за 1, будут выражаться: ;;…… Спектр на рис. 14

1

0,33

0,2

₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 

рис. 14