2.3 Расчетная часть задания, выполненная аналитически

Задача линейного программирования будет решена на нахождения максимума(минимума).

Необходимо найти начальное опорное (абсолютно произвольное) решение для функции L, которое бы удовлетворяло системе наложенных ограничений. Далее, применяя симплекс таблицы, будет получаться решение, при котором значение функции будет, как минимум, не убывать. И так до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение, при котором функция достигает своего максимума. Перед применением симплекс таблиц, необходимо преобразовать систему линейных ограничений и рассматриваемую функцию L к вполне определенному виду.

Далее необходимо найти наибольшее значение линейной функции при заданных ограничениях представлены формулами (7) и (8):

(7)

(8)

Свободные члены системы ограничений должны быть неотрицательными. Система ограничений должна быть приведена к канонической форме. Т.е. к левой части неравенства первой системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₆ – необходимо преобразовать первое неравенство в равенство. К левой части неравенства второй системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₇ – необходимо преобразовать второе неравенство в равенство. К левой части неравенства третьей системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₈ - необходимо преобразовать третье неравенство в равенство. К левой части неравенства четвертой системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₉ – необходимо преобразовать четвертое неравенство в равенство. Преобразованную систему можно представить формулой (9):

(9)

Переменная x₆ входит в первое уравнение с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₆ – базисная переменная. Переменная x₇ входит во второе уравнение с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₇ – базисная переменная. Переменная x₈ входит в третье уравнение с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₈ – базисная переменная. Переменная x₉ входит в четвертое уравнение с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₉ – базисная переменная(БП).

Свободные члены(СЧ) в данном случае в каждой строке одинаковые, т.е. в каждой строки свободный член будет равняться 8.

Функция L не должна содержать базисные переменные .Значение функции L для начального решения: L (X _нач) = 0.

При составлении исходной симплекс таблицы, коэффициенты при переменных функции L записываются с противоположными знаками, а свободный член со своим знаком.

Ключевым столбцом будет x5, так как при решении задачи на максимум берется самая наименьшее (наибольшее) число из L строки в данном случае число -820(задача на максимум). Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматривается. Ключевой строкой будет строка х8, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для третьей строки является наименьшим. Необходимо обратить внимание, что отношение вычисляются только для положительных элементов пятого столбца. Как показано в таблице 1.

Таблица 1 – Первоначальная симплекс-таблица

БП	СЧ	х1	х2	х3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x6	8	0,2	0,6	0,8	0,3	0,5	1	0	0	0
x7	8	0,5	0,3	0,4	0,6	0,4	0	0	0	0
x8	8	0,7	0,5	0,3	0,2	0,8	0	0	1	0
x9	8	0,8	0,4	0,2	0,3	0,7	0	0	0	1
L	0	-700	-530	-240	-450	-820	0	0	0	0

Необходимо построить новую таблицу, заменяется во второй таблице базисную переменную х8 на х5, необходимо разделить элементы первой таблицы первой строки x8 на 0,8. Далее необходимо от элементов первой строки отнимаются соответствующие элементы третьей строки, умноженные на соответствующий элемент ключевой строки, например в 1-й строке необходимо умножать на 0,5. От элементов второй строки отнимаются соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 0,4. От элементов четвертой строки отнимаются соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 0,7. От элементов строки L отнимаются соответствующие элементы третьей строки, умноженные на -820. Как показано в таблице 2.

Таблица 2 – Вторая симплекс-таблица

БП	СЧ	х1	х2	х3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x6	3	-0,2	0,3	0,6	0,2	0	1	0	-0,6	0
x7	4	0,2	0,1	0,3	0,5	0	0	1	-0,5	0
x5	10	0,9	0,6	0,4	0,3	1	0	0	1,3	0
x9	1	0,2	0	-0,1	0,1	0	0	0	-0,9	1
L	8200	17,5	-17,5	67,5	-245	0	0	0	1025	0

Ключевым столбцом будет столбец х4, так как -245 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматривается. Во второй таблице ключевой строкой будет строка х7, так как отношение свободного члена второй таблицы к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Отношения вычисляются только для положительных элементов столбце с индексом-х4.

Дальше необходимо построить новую таблицу, заменяем базисную переменную х7 на х4, необходимо разделить элементы строки 2 на 0,5. От элементов строки 1 отнимаются соответствующие элементы строки 2, умноженные на соответствующий элемент ключевой строки, например в 1-й строке умножаем на 0,2. От элементов строки 3 отнимаются соответствующие элементы строки 2, умноженные на 0,3. От элементов строки 4 отнимаются соответствующие элементы строки 2, умноженные на 0,1. От элементов строки L отнимаются соответствующие элементы строки 2, умноженные на -245.Как показано в таблице 3.

Таблица 3 – Третья симплекс-таблица

БП	СЧ	х1	х2	х3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
х6	1,6	-0,3	0,3	0,5	0	0	1	-0,4	-0,5	0
х4	8	0,3	0,1	0,5	1	0	0	2	-0,1	0
х5	8	0,8	0,6	0,3	0	1	0	-0,5	1,5	0
х9	0	0,2	-0,1	-0,1	0	0	0	-0,3	-0,8	1
L	10160	91	7	190	0	0	0	490	780	0

Учитывая, что все x_i0, по условию задачи, наибольшее значение функции L равно 10160 рублей это число является максимальной прибылью при оптимальном плане выпуска деталей.

Оптимальный план выпуска деталей:

• адаптер(х1) = 0 шт;

• заглушка(х2) = 0 шт

• втулка(х3) = 0 шт;

• держатель(х4) = 8 шт;

• балка(х5) = 8 шт.

Для получения максимальной прибыли выгоднее всего выпускать детали держатели(х4) и балки(х5). Но в реальной жизни это не возможно, так как сборка прицепа не возможна без адаптера, втулки и заглушки.

В следующих разделах будет приведена проверка результата с помощью табличного процессора Microsoft Excel и математического пакета Maple.