Лекция №01 (04.09.13))
Вопрос 1. Энергия упругой волны
Уравнение волны: x,t Acos t kx
Она приводит к упругому смещению частиц среды и здесь уместно воспользоваться аналогией с пружиной.
Потенциальная энергия деформированной пружины:
F kx |
x |
|
kx2 |
|
A F x dx |
U |
2 |
||
|
0 |
|
|
|
По аналогии – напряженный стержень:
1
Вопрос №2. Принцип суперпозиции, групповая скорость
В линейной среде, в которой распространяется одновременно несколько волн выполняется принцип суперпозиций (наложения) волн:
при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так,
будто другие волны отсутствуют, результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений,
которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.
Суперпозиция большого числа волн с близкими частотами представляет собой группу волн или волновой пакет.
Волновой пакет - суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.
2
Пример. Суперпозиция 2-ух волн с одинаковыми амплитудами, распространяющимися вдоль оси x, обозначим их разницу циклических частот и волновых чисел как и k :
|
|
х, t |
|
|
0 |
cos |
|
t kх |
|
0 |
|
|
|
t |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
A cos |
|
|
kх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 442 4 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 4 4 442 4 4 4 4 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 A cos |
1-ая волна пакета |
|
|
|
|
|
2-ая волна пакета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
t kх |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
cos |
|
|
|
kх |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k kх |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
k |
kх |
|
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kх t t kх kх |
|
|
|
|
|
|
|
kх t t kх kх |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 A cos |
|
|
t |
cos |
|
|
t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t х k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tх k |
|
|
|
|
|
|
kх 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tх k |
cos t kх |
|
||||||||||||||||||
2 A cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 442 4 4 43 |
|
|
|
||||||||
Амплитуда пакета
В результате суперпозициии:
Амплитуда пакета является медленно изменяющейся функцией координаты и времени.
3
За скорость распространения волнового пакета
принимают скорость перемещения какой-либо точки, в которой амплитуда имеет фиксированное значение,
например максимума амплитуды пакета (центра волнового пакета).
Амплитуда неизменна при: tх k const |
дифференцируем |
u dх
dt k
u d dk
u – групповая скорость - скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).
Связь групповой скорости |
u |
d |
|
|
d k |
|
|
|
k |
d |
|
k |
d |
d |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
/k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
и фазовой |
( |
|
|
|
|
) |
: |
|
|
|
dk |
|
|
dk |
|
|
dk |
dk d |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
2 |
d |
||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
d |
|
|
k |
d |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u d d
4
Вопрос 3. Интерференция волн, стоячие волны
Интерференция волн
– явление, заключающиеся в том,
что при наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн происходит устойчивое во времени
водних точках усиление,
ав других точках ослабление результирующей волны.
Когерентность
согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.
Волны когерентны, если разность их фаз остается постоянной во времени.
Когерентными могут быть лишь волны имеющие одинаковую частоту, в частности гармонические - они когерентны всегда.
5
Пример - интерференция двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками:
r1 и r2 –расстояния от источников до точки.
Амплитуда результирующей волны :
Для когерентных источников 1- 2 = const и результат интерференции двух волн зависит от величины ( r1-r2 ), называемой разностью хода
Интерференционный максимум: |
|
A A0 |
r1 A0 |
r2 наблюдается в точках, |
|
Числа (m =0, 1, 2,...) порядки интерференционного максимума.
Интерференционный минимум |
A |
|
A0 |
r1 A0 |
r2 |
|
наблюдается в точках, |
|
|
Числа (m =0, 1, 2,...) порядки интерференционного минимума. |
6 |
|
Стоячие волны – частный случай интерференции волн.
Они образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу
с одинаковыми частотами и амплитудами.
Постановка задачи: 2-е плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу:
1 Acos t kx ; |
2 |
Acos t kx ; |
|
|
Сложим уравнения учитывая: |
cos cos cos msin sin ; |
k 2 ; |
||
Получим уравнение |
|
1 |
2 2Acos 2 x cos t; |
|
плоской стоячей волны: |
|
|
|
|
|
|
|
1 4 2 4 3 |
|
Амплитуда стоячей волны AСТ
В каждой точке стоячей волны совершаются гармонические колебания той же частоты, что и у встречных волн.
Амплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущей, зависит от координаты. 7
В точках среды, где |
2 x |
m |
m 0,1, 2... |
|
|
|
|
амплитуда стоячей волны достигает максимального значения АСТ =2А
-пучности стоячей волны.
- |
|
|
x m |
|
, m 0,1, 2... |
||
их координаты: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
В точках среды, где |
|
|
|
|
|||
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
0,1,.. |
|
m |
|
m |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
амплитуда стоячей волны равна в нуль
- узлы стоячей волны.
Координаты узлов:
x m
1 , m 0,1,..
2 2
Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны бегущих волн.
Эту величину называют длиной стоячей волны СТ= /2
8
Стоячие волны наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.
При этом на границе сред при отражении от:
менее плотной среды - пучность;
более плотной |
- узел. |
Это мы рассматривали упругие волны |
9 |
5.5. Звуковые волны. Эффект Доплера в акустике.
Звуковые (или акустические) волны
- упругие волны с частотами 16 20000 Гц (границы условны) распространяющиеся в среде и воспринимаемые органами слуха человека.
Не слышимый человеком звук с:
< 16 Гц – инфразвук;
> 20 105 кГц – ультразвук;
>105 107кГц - гиперзвук. Учение о звуке - акустика.
Звуковые волны: в воздухе - продольные волны. в твердых телах звуковые волны
могут быть как продольными, так и поперечными.
Энергетическая характеристика звука –
интенсивность (или сила) звука
-физическая величина, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энергии звуковой волны - вектора Умова.
10