Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Покажем, как находятся конкретные значения, например пятое, для переменной коэффициент Джини:

0,409-(0,016∙5+0,26)=0,069.

Следующий шаг установление зависимости между остатками по переменным.

Основным недостатком метода является то, что результаты не интерпретируются, но данная модель после доработки может использоваться как прогнозная.

§6. Эластичность (elasticity) юридических процессов

Одним из важнейших методов изучения взаимосвязей различных юридических процессов с детерминирующими их факторами, а также взаимовлияния юридических процессов является исследование их эластичности (изменчивости, чувствительности), поскольку чрезвычайно важно количественно измерить и оценить силу реакции одних переменных на поведение

226

других. Эластичность переменной игрек по переменной икс –

это показатель того, на сколько процентов изменяется игрек при изменении икс на 1%. Всегда измеряется в относительных величинах (процентах), что позволяет проводить сравнение вне зависимости от того, в каких единицах измеряются исходные переменные икс и игрек.

Например, эластичность преступности по наказуемости ответит на вопрос, на сколько процентов в среднем изменится преступность при изменении наказуемости на 1% или эластичность числа умышленных убийств по коэффициенту Джини ответит на вопрос, на сколько процентов в среднем изменится число умышленных убийств при изменении коэффициента Джини на 1% и т.д. И это говорит само за себя. Эластичность является незаменимым инструментом в изучении зависимостей любого свойства, будь то физических, биологических, экономических, юридических и т.п. в их различных сочетаниях.

Задачи, решаемые с помощью эластичности: 1.Исследование причинно-следственных связей и взаимного

влияния различных переменных друг на друга. Измерение степени влияния одних переменных на другие переменные. То есть развитие объясняющей теории.

2.Прогнозирование одних переменных по другим. 3.Принятие управленческих решений.

Может возникнуть вопрос, что и производная исследуемой функции решает те же задачи. Это так, но производная, во-первых, связана с абсолютными величинами – показывает, на сколько в абсолютном выражении изменится зависимая переменная при изменении независимой на единицу измерения. То есть имеет размерность, зависящую от единиц измерения, что не всегда удобно. Во-вторых, при несовпадении размерностей сравнения неуместны. Например,

В-третьих, одинаковые значения производных для разных юридических процессов могут иметь разный криминологический смысл. От этих трудностей нас и избавляет расчет эластичности.

227

Кроме того, эластичность хорошо дополняет предельный анализ (анализ, основанный на исследовании производных).

Графическое представление эластичности. По своей природе эластичность является ответвлением дифференциального исчисления, поскольку в формулу эластичности входит первая

производная любой исследуемой функции: Эх(у)= dydx × xy .

Геометрически производная от какой либо нелинейной функции (кривой) – это тангенс угла (tg α) наклона касательной в любой

сути, соотносятся абсолютные приросты по переменным х и у:

yx , где у=у1-у0, х=х1-х0. Очевидно, что если перед нами

прямая линия, то касательная к любой ее точке будет совпадать с этой прямой и имеет одинаковый угол наклона. Поэтому производная линейной функции постоянная величина. В нелинейных функциях этот угол наклона меняется от точки к точке, поскольку отражает разные абсолютные приросты по ординате и по абсциссе.

При графическом представлении эластичности мы также берем касательные к любым точкам кривой, но делим не абсолютный прирост по игрек на абсолютный прирост по икс в

точке касания yx , а расстояния по касательной до координатных

осей: расстояние от точки касательной до пересечения с осью ординат (1) на расстояние от этой же точки до пересечения линии

касательной с осью абсцисс (2): KBКA , где |КА| – расстояние от

точки касательной к кривой функции (точка «К») до пересечения этой касательной с линией ординат (точка «А»), |КB| – расстояние от точки касательной к кривой функции (точка «К») до пересечения этой касательной с линией абсцисс (точка «B»). Соответственно, если |КА|>|КB|, то коэффициент эластичности больше |1|, а это значит, что игрек изменяется более чем на 1% при изменении икс на 1%. И наоборот, если |КА|<|КB|, то коэффициент эластичности меньше |1|, а это значит, что игрек изменяется менее чем на 1% при

228

изменении икс на 1%. Знак коэффициента эластичности (плюс или минус) зависит от наклона кривой. Если исходная функция положительна (естественно, положителен и наклон касательных), то знак плюс. Если отрицательна, то знак минус.

Как видно, при графическом представлении производной достаточно использовать лишь одну точку касательной, в то время как при графическом представлении эластичности используются отрезки касательной.

Таблица. Методы расчета эластичности

Таблица №. Расчет эластичностей различных функций: Эх(у) -эластичность игрек по икс, например, эластичность преступности

229

Учитывая тот факт, что эластичность функций является переменной величиной (за исключением степенных функций, где эластичность постоянна и равна значению степени) иногда рассчитывают среднюю эластичность. Например, для линейной

функции средний показатель эластичности равен: Эу / х =b × xy .

Очевидно, что он менее точен, чем показатель эластичности, рассчитанный для каждого конкретного значения.

Свойства эластичности. В специальной литературе28, подробно раскрывающей концепцию эластичности, доказывается ряд важных свойств эластичности:

28 Лапушинская Г.К., Баженова Т.Ю. Микроэкономика для менеджеров: концепция эластичности: Учебное пособие/Г.К.Лопушинская, Т.Ю.Баженова. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. С. 13-16.

230

1.Эастичность безразмерная величина, значение которой не зависит от того в каких единицах измерены аргумент (объясняющая переменная) и функция. Если u=Ax, v=By, то

2. Эластичности взаимно обратных функций являются взаимно обратными величинами.

Ex ( y) = E 1 x y ( )

.

3. Эластичность переменной у по переменной х равна производной ln y по ln x. Если

То справедливо равенство:

E( y) = d log y x d log x .

Логарифм берется по произвольному основанию, поскольку переход от одного основания к другому равносилен умножению на константу, как числителя, так и знаменателя, что не изменит итогового значения. Отсюда следует, что изучение различных свойств эластичности легко свести к изучению соответствующих производных. Для этого достаточно перейти от величин х и у к их логарифмам.

4. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме их эластичностей:

231

Ex (uv ) = Ex (u) +Ex (v).

Поскольку Ex(x)=1, то Ex(xy)=Ex(y)+1. Отсюда следует: при Ex(xy)>0 переменная х и произведение ху с ростом х возрастает, а с уменьшением х - убывает. При этом Ex(xy)=Ex(y)+1>0, когда

Ex(y)>-1.

При Ex(xy)<0 переменная х и произведение ху изменяются в разных направлениях. Произведение ху с ростом х - убывает, а с уменьшением х - возрастает. При этом Ex(xy)=Ex(y)+1<0, когда

Ex(y)<-1.

5. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного аргумента х, равна разности эластичностей:

6. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента x, равна:

Ex (u +v) = uE x (u) +vEx (v) . u +v

232

§7. Непараметрический корреляционный анализ юридических процессов

Корреляция между переменными может быть установлена с помощью непараметрических методов. В этом случае мы не проводим регрессионного анализа, а только получаем весьма приблизительный непараметрический коэффициент корреляции. Непараметрическими соответствующие коэффициенты корреляции называются потому, что при их расчете, во-первых, не учитывается закон нормального распределения с параметрами m и σ (нет требования, чтобы переменные распределялись по нормальному закону); во-вторых, не используются параметры соответствующих уравнений. Например, при расчете параметрического линейного коэффициента корреляции используется параметр b – коэффициент

корреляции называют параметрическим. Вместе с тем, непараметрические коэффициенты в отличие от параметрических не привязаны к нормальному распределению, которое налагает ряд ограничений, а также применимы не только к количественным, но и качественным исходным данным, если те предварительно ранжированы.

Непараметрические коэффициенты корреляции являются менее точными, поскольку при их расчете теряется достаточно большой объем информации, содержащейся в первичных статистических данных. Дело в том, что, рассчитывая данные коэффициенты, мы не берем разницу между каждым конкретным наблюдением и его средним, а рассматриваем либо знаки отклонений от среднего (коэффициент Фехнера), либо ранги (коэффициенты Спирмена, Кендалла). Подобные коэффициенты скорее позволяют лишь судить о направлении связи между переменными, нежели более или менее точно измерять её силу. Даже если такой коэффициент примет значение равное единице или минус единице, нельзя будет утверждать, что связь между переменными носит функциональный характер, поскольку расчет

233

корреляции в данном случае был приблизительным, со значительной потерей первичной информации.

Покажем это на примерах непараметрического коэффициента корреляции Фехнера, непараметрических ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендалла, а также множественного коэффициента ранговой корреляции – коэффициента конкордации. В качестве исходных данных для расчета коэффициента корреляции Фехнера и коэффициента ранговой корреляции Спирмена возьмем коэффициент Джини за период с 1990 по 1999 годы и число умышленных убийств за аналогичный период.

x =0,353 , y =26740 .

Коэффициент Фехнера учитывает только знаки отклонений – совпадения (С) и несовпадения (Н) знаков. Вычисляется по формуле:

К= åС −åН .

ФåС +åН

Следовательно, для нашего примера:

КФ = åС −åН = 10 −0 =1. Откуда можно было бы заключить, что

åС + åН 10 +0

связь между переменными модели является функциональной. На самом деле это не так, хотя более точный параметрический линейный коэффициент корреляции также близок к единице, показывает сильную положительную связь между переменными, но связь корреляционную, то есть не равную единице.

234

Подобные задачи можно решать с помощью ППП Excel:

(x)(y)

Покажем формулы. Для этого выберем в командной строке «Формулы», а далее «Показать формулы»:

235