Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom 6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

467.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

1 X = α −1 .

Следовательно, V(λ=2) =< −1 >.

3) Объединяем базисы собственных подпространств и по-

лучаем базис пространства столбцов R2 из собственных векторов матрицы А:

1		1	} .
{	,		} .
1		−1

б) Составляем характеристическое уравнение:

	−1−λ			−2		3
	−1−λ			−2		3
	1			−2 −λ		1		= 0 .
	1			0		−1−λ
Вычтем из 2-й строки 3-ю:
	−1−λ			−2		3
	−1−λ			−2		3
	0			−2 −λ 2 +λ			= 0 .
	1			0		−1−λ
Вынесем общий множитель 2-й строки:
			−1−λ		−2	3
			−1−λ		−2	3
(2 +λ)				0	−1	1			= 0 .
				1	0	−1−λ
Ко 2-му столбцу прибавим 3-й:
(2 +λ)		−1−λ			1	3				= 0 .
		−1−λ			1	3
		0			0	1
		1		−1−λ −1−λ

Раскладываем определитель по элементам 2-й строки:

(2 +λ)		−1−λ	1	= 0 ,
(2 +λ)		−1−λ	1	= 0 ,
		1	−1−λ
	81

(2 +λ)(λ2 +2λ) = 0 , λ(λ+2)2 = 0 ,

λ1 = −2, m(λ1 ) = 2 – корень кратности 2, λ2 = 0 – простой

корень.

Находим базисы собственных подпространств. 1) λ1 = −2 ,

1	−2	3	1	−2	3
		1				,
A + 2E = 1 0			~	0	1
	0	1	1
1
r(λ1 ) = rang (A + 2E) = 2 ,

n(λ1 ) = dim V(λ1 ) = n − r(λ1 ) = 3 − 2 =1 ≠ m(λ1 ) = 2 ,

т.е. матрица не диагонализируемая, базиса из собственных векторов матрицы А не существует.

в) Составляем характеристическое уравнение:

		1−λ	−1	2
		1−λ	−1	2
	3		−3 −λ	6		= 0 .
	2		−2	4 −λ
К 1-му столбцу прибавим 2-й:
		−λ	−1	2
		−λ	−1	2
		−λ	−3 −λ	6	= 0 .
		0	−2	4 −λ
Из 2-й строки вычтем 1-ю:
		−λ	−1	2
		−λ	−1	2
		0	−2 −λ	4	= 0 .
		0	−2	4 −λ

Разложим определитель по элементам 1-го столбца:

λ	−2 −λ	4		= 0 , λ2 (λ −2) = 0 ,
λ	−2 −λ	4		= 0 , λ2 (λ −2) = 0 ,
	−2	4 −λ
			82

λ1 = 0, m(λ1 ) = 2 – корень кратности 2, λ2 = 2 .

Находим базисы собственных подпространств. 1) λ1 = 0 ,

1		−1	2
	3	−3	6
A −λE = A =				.
	2	−2	4

Так как все строки матрицы А пропорциональные, то r(λ1 ) = rang A =1, геометрическая кратность корня λ1 = 0

равна

n(λ1 ) = dim V(λ1 ) = n − r(λ1 ) = 3 −1 = 2 = m(λ1 ) ,

и матрица А диагонализируема. Решаем систему AX = 0 . Данная система равносильна уравнению

			x1 − x2 + 2x3 = 0 .
Пусть x2 = α, x3 =β, тогда x1							= α − 2β,
	α−2β							1					−2
			α		= α				1				0
	X =		α		= α				1		+β		0
			β						0				1
			β						0				1
– общее решение,
					1			−2
	V			=<		1	,			0		>.
			(λ1 )
						0				1
						0				1
		−1		−1			2
2) λ2 = 2 ,	A − 2E =		3	−5 6
2) λ2 = 2 ,	A − 2E =		3	−5 6				.
			2	−2			2
			2	−2			2

Решаем систему (A −2E) X = 0 . Работаем с матрицей сис-

темы. 3-я строка пропорциональна 1-й и ее можно вычеркнуть, ко 2-й строке прибавляем 1-ю, умноженную на 3:

−1		−1		2				−1 −1						2					1 1	−2
	3	−5		6		~		−1 −1						2					1 1	−2
	3	−5		6		~		0										~		.
	2	−2		2				0			−8 12								0 2	−3
	2	−2		2
Решаем систему:
						x			1	+ x		2	= 2x			3 .
									1			2				3 .
										2x2 = 3x3
Находим ненулевое решение. Пусть																			x3 = 2 , тогда		x2 = 3 ,
x1 =1,
						1										1
				X =			3		, V					=<				3	>.
											(λ2 )
							2											2
							2											2
Объединяем базисы собственных подпространств																					V(λ ) и
																					1
V(λ2 ) , получаем базис из собственных векторов матрицы А:
						1				−2					1
					{		1				0				3
					{		1	,			0		,		3		}.
							0				1				2
							0				1				2
	1			1
Ответ: а) {			,	} ; б) матрица не диагонализируемая и
	1			−1

базиса из собственных векторов матрицы А не существует;

	1		−2		1
	1	,	0	,	3	}.
в) {	1	,	0	,	3	}.
	0		1		2
	0		1		2

УПРАЖНЕНИЯ

251. Пусть отображение f : R2 → R3 задается правилом

X = x1 R2 ,

x1	+ x2
	x2
f (X) =	x2	.

x2	− x1

Используя определение линейного отображения, проверьте, является ли таковым отображение f. Если f является линейным отображением, то найдите его матрицу относи-

тельно канонических базисов пространств R2 и R3 .

252. Доказать, что отображение f : R2 → R3 является линейным инайти его матрицу относительно базисов {a1,a2} , {b1,b2 ,b3} пространств R2 и R3 соответственно, если

x1									x		1								−1				1
x1	R	2	,	f (X) =							1		,		a1 =				−1	,	a2		1	,
X =	R		,	f (X) =			x1 + x					2	,		a1 =				1	,	a2	=	0	,
x2																			1				0
							x1 − x					2
					1				0							1
	b		=		1	, b	2	=		1		, b		3	=		0	.
		1					2							3
					0					1							1
					0					1							1

253.Докажите, чтопроектированиевектораплоскостинапрямую, лежащуювэтойжеплоскости, естьлинейноеотображение.

254.Найдите матрицу проектирования вектора координатной плоскости Оху на координатную ось Ох.

255.Найдите матрицу оператора симметрии вектора координатного пространства Oxyz относительно координатной плоскости: а) Oxz; б) Oyz.

256.Найдите матрицу оператора симметрии коор-

динатного пространства Oxyz относительно плоскости:

а) z − x = 0 ; б) y − x = 0 .

257. Найдите матрицу оператора проектирования координатного пространства Oxyz на плоскость: а) z − x = 0 ;

б) y − x = 0 .

258. Найдите матрицу оператора проектирования вектора координатной плоскости Оху на прямую y = 3x .

259.Найдите матрицу оператора проектирования вектора координатного пространства Oxyz на прямую, проходящую через начало координат и образующую равные углы с координатными осями.

260.Найдите матрицу отображения дифференцирования многочленов степени не выше 4: а) над полем действительных чисел R; б) над конечным полем из двух эле-

ментов F2 ={0,1}; в) над полем комплексных чисел С.

261. Найти матрицу линейного оператора умножения на фиксированное комплексное число zo = a + bi в простран-

стве комплексных чисел относительно базиса {z1,z2}, где

z1	= cos ϕ+isin ϕ, z2		ϕ+	π		ϕ+	π	,
		= cos		2	+isin		2

не прибегая к тригонометрической форме числа zo

262.Найдите матрицу оператора сопряжения комплексных чисел, используя его геометрическую интерпретацию.

263.Объясните, почему задачу 261 нельзя решить с помощью задачи 263.

264.Используя результаты задачи 264, найдите матрицу оператора проектирования координатного пространства Oxyz на: а) плоскость Оуz; б) ось Oz.

265.Найти ядро матрицы А, как линейного отображения (оператора), если:

а) A = (1,−1,2)	1	0	1	;	в) A =	1		−1 2
а) A = (1,−1,2)	; б) A =			;	в) A =		2	2	1	.
	2	1	0
	2	1	0				3	1	3
							3	1	3
		86

266. Найти образ матрицы А, как линейного отображе-

					1	1	1			;
ния (оператора), если: а) A =					2	1				;
					2	1	−1
1		−1	2					1		−1	2
	2 1		0					1		−1	2
б) A =	2 1		0	;	в) A =				2	2 1		.
	0	1	−1
	0	1	−1						3	2	3
	3	1	2						3	2	3
	3	1	2

267. Найти характеристический многочлен матрицы:

1	0		1		−1	2
		;		2	2	1
а) A =			б) A =				.
1	−1			3	2	3

268. Найти собственные числа матрицы:

1		1		4		−5	7
			;		1	−4	9
а) A =	−2			б) A =				.
		−1			−4	0	5

269. Определить размерность и найти базис собственного подпространства для каждого собственного числа матрицы:

		1	0			4		−5		7
		1	0	; б) A =			1	−4	9
	а) A =			; б) A =			1	−4	9		.
		1	−1				−4	0		5
							−4	0		5
270. Определить, диагонализируема ли матрица:
	1 1			1	1				0		−4	0
	1 1	; б) A =		1	1		в) A =			1	−4 0
а) A =		; б) A =			;		в) A =			1	−4 0		.
	0 1			0	−1					1	−2	−2
										1	−2	−2

271. Убедиться, что данная матрица является диагонализируемой и найти базис из ее собственных векторов:

1		1		5		6	−3			0	0	1
			;		−1 0		1	;		0	1	0
а) A =				б) A =					в) A =				.
	0	1			1	2				1	0	0
							−1

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979. – 512 c.

2.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее при-

ложения. – М.: Наука, 1985. – 392 с.

3.Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач. – Минск: ТетраСистемс, 2001. – 288 с.

4.Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. – М.: Высшая школа, 1985. – 120 с.

5.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970. – 400 с.

6.Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия в 2-х частях. Часть 2. – Минск: Вышэйшая школа, 1987. – 269 с.

7.Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: В 2 ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. Часть 1 – 312 с. Часть 2 – 344 с.

8.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

– М.: Наука, 1978. – 384 с.

9.Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие/Под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука, 1987. – 352 с.

10.Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – Минск: Вышэйшая школа, 1968. – 504 с.

11.ФаддеевД.К. Лекциипоалгебре. – М.: Наука, 1984. – 416 с.

12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1988. – 288 с.

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . 3
Список задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . 4
Введение	Краткие сведения по теории	линейных
	операторов . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . 6
Глава 29.	Линейные отображения векторных про-
	странств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . 38
Глава 30.	Собственные числа и собственные век-
	торы линейного оператора . . . .	. . . . . . . . 68
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . 85
Список рекомендуемой литературы . . . . . . .		. . . . . . . . 88

Головизин Вячеслав Владимирович

Основные задачи курса «Алгебра и геометрия». Часть 6. Линейные отображения

векторных пространств

Учебно-методическое пособие

Компьютерный набор В.В. Головизин Верстка В.И. Родионов

Пописано в печать __.12.09. Формат 60 × 84 116 .

Печать офсетная. Усл. печ. л. _,__. Уч.-изд. л. _,_. Тираж 50 экз. Заказ № .

Редакционно-издательский отдел УдГУ Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет»

426034, Ижевск, Университетская, 1, корп. 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в папке МП Основные задачи курса АГ ч.1-ч.6

#
13.05.2015829.55 Кб38Tom 1.pdf
#
13.05.2015791.14 Кб29Tom 2.pdf
#
13.05.2015417.7 Кб29Tom 3.pdf
#
13.05.2015459.46 Кб29Tom 4.pdf
#
13.05.2015470.51 Кб26Tom 5.pdf
#
13.05.2015467.05 Кб35Tom 6.pdf