все для алгема / Методические пособия по АГ / МП Основные задачи курса АГ ч.1-ч.6 / Tom 6

Следствие. Пусть V – векторное пространство над полем

K, {e1,e2 ,...,en }, {e1′,e′2 ,...,e′n } – два базиса пространства V,

С – матрица перехода от базиса {e1,e2 ,...,en } к базису {e1′,e′2 ,...,e′n }, А – матрица линейного оператора f : V → V , относительно базиса {e1,e2 ,...,en }, A′ – матрица этого же линейного оператора относительно базиса {e1′,e′2 ,...,e′n }. Тогда справедлива следующая формула: A′ = C−1AC .

п.8. Примеры нахождения матрицы линейного отображения и линейного оператора.

Из результатов п.5 и п.6 следует, что имеется 3 способа нахождения матрицы линейного отображения (или оператора). Рассмотрим их на примере линейных отображений. Пусть f : V → W линейное отображение, {e1,e2 ,...,en } –

базиспространстваV, {u1,u2 ,...,um} – базис пространства W.

1-й способ. Находим образы базисных векторов: f (e1 ),f (e2 ),...,f (en ) W

и раскладываем их по базису пространства W:

f (ei ), i =1,2,...,n , в i-й столбец и получаем искомую матрицу линейного отображения f относительно данных базисов:

21

Решение. Применим 1-й способ. Пусть {e1,e2 ,...,en } – произвольный базис пространства V, {u1,u2 ,...,um} – произ-

вольный базис пространства W.

Так как x V, O(x) = 0 , то и образы базисных векторов тоже равны нулю, и они имеют нулевые координаты:

O(ei ) = 0 = 0 u1 +0 u2 +...+0 um , i =1,2,...,n .

Следовательно, матрица нулевого отображения относительно любых базисов является нулевой.

Ответ: нулевая матрица размеров m ×n , где m = dim W, n = dim V .

Пример 2. Найти матрицу тождественного оператора относительно произвольного базиса.

Решение. Применим 2-й способ. Пусть id : V → V – тождественный оператор, действующий на векторном пространстве V: x V, id(x) = x . Пусть {a1 ,a2 ,...,an } – про-

извольный базис пространства V. Составляем определяющее уравнение для тождественного оператора относительно данного базиса:

id(a1,a2 ,...,an ) = (a1,a2 ,...,an ) X .

Левая часть этого уравнения равна

id (a1,a2 ,...,an ) = (id(a1 ),id(a2 ),...,id(an )) = (a1,a2 ,...,an ) ,

и определяющее уравнение принимает вид: (a1 ,a2 ,...,an ) = (a1 ,a2 ,...,an ) X .

Единственным решением этого уравнения, очевидно, является единичная матрица n-го порядка: X = E .

Ответ: матрицей тождественного оператора является единичная матрица n-го порядка, где n = dim V .

Пример 3а. Найти матрицу линейного отображения A : Kn → Km , определяемого с помощью матрицы А:

23

X Kn , A(X) A X ,

относительно канонических базисов пространств столбцов

Kn и Km .

Решение. Применим 3-й способ. Пусть {e1,e2 ,...,en } – ка-

нонический базис пространства столбцов высоты n, {u1,u2 ,...,um} – канонический базис пространства столбцов

Km . Пусть В – матрица линейного оператора А относительно данных базисов.

Пусть теперь Х – произвольный столбец высоты n из пространства Kn и Y = A(X) = A X – его образ в пространстве Km . Столбец координат вектора X Kn относи-

= x1e1 + x2e2 +... + xn en .

Аналогично,

Столбцы координат векторов Х и Y = A(X) связаны друг с

другом соотношением Y = B X , где В – матрица данного линейного отображения. Но так как по условию задачи Y = A(X) = A X , то отсюда следует равенство:

AX = BX . 24

Это равенство верно для любых столбцов X Kn , что возможно тогда и только тогда, когда A = B .

Таким образом, матрица А с помощью которой задается линейное отображение является матрицей этого отображения относительно канонических базисов.

Ответ: матрицей данного линейного отображения является матрица А.

Пример 3б. Найти матрицу линейного отображения A : Kn → Km , определяемого с помощью матрицы А:

X Kn , A(X) A X ,

относительно произвольных базисов пространств столбцов

Kn и Km .

Решение. Применим 2-й способ. Пусть {f1,f2 ,...,fn } – произвольный базис пространства столбцов Kn , {g1,g2 ,...,gm}

– произвольный базис пространства столбцов Km . Пусть дана матрица А, с помощью которой определено данное линейное отображение.

Обозначим через A1 ,A2 ,...,An столбцы матрицы А, так что A = (A1 ,A2 ,...,An ) . Обозначим также через

F = (f1,f2 ,...,fn ), G = (g1,g2 ,...,gm )

матрицы, составленные из базисных столбцов.

Для нахождения матрицы линейного отображения относительно данных базисов g Af , нужно, согласно опреде-

ления, решить определяющее уравнение для линейного отображения А относительно данных базисов:

(A f1 ,A f2 ,...,A fn ) = (g1 ,g2 ,...,gm )X ,

в котором X = g Af – неизвестная искомая матрица.

Левая часть этого уравнения равна

(A f1 ,A f2 ,...,A fn ) = A (f1 ,f2 ,...,fn ) = A F , 25

а правая

(g1 ,g2 ,...,gm )X = G X .

Тогда определяющее уравнение принимает вид: AF = GX , откуда следует, что X = f Ag = G−1AF .

Замечание. В частности, если {f1,f2 ,...,fn } – канонический базис пространства столбцов Kn , а {g1,g2 ,...,gm} – канонический базис пространства столбцов Km , то

F= (f1,f2 ,...,fn ) = En , G = (g1,g2 ,...,gm ) = Em

–единичные матрицы n-го и m-го порядков соответствен-

но, и f Ag = E−m1AEn = A , т.е. мы получили результат при-

мера 3а.

Если же вспомнить, что матрица F = (f1 ,f2 ,...,fn ) есть матрица перехода от канонического базиса пространства

то равенство f Ag = G−1AF следует из правила изменения матрицы линейного отображения при изменении базиса. Ответ: f Ag = G−1AF , где F – матрица перехода от базиса

пространства Kn к его каноническому базису, а G – матри-

ца перехода от базиса пространства Km к его каноническому базису.

Пример 4. Найти матрицу естественного изоморфизма

π: V → Kn , где V произвольное n-мерное векторное пространство над полем K, относительно произвольного базиса пространства V и канонического базиса пространства

столбцов Kn .

26

Решение. Воспользуемся 3-м способом. Пусть {f1,f2 ,...,fn }

– произвольный базис пространства V, {e1,e2 ,...,en } – ка-

нонический базис пространства Kn . Так как

x V, x = x1f1 +x2f2 +...+xnfn ,

то столбцы координат Х и Y векторов х и у равны: Y = X . С другой стороны эти столбцы связаны друг с другом соотношением Y = AX , где А – матрица линейного отображения π. Отсюда находим, что AX = X для любого столб-

ца X Kn , что возможно лишь в случае, когда A = E – единичная матрица n-го порядка.

Ответ: матрицей естественного изоморфизма является единичная матрица n-го порядка, где n = dim V .

Пример 5. Найти матрицу поворота прямоугольной декартовой системы координат Оху вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ϕ.

Решение. Здесь мы используем 1-й способ. Пусть V2 –

множество векторов на плоскости, как направленных отрезков. Устроим отображение

σϕ : V2 → V2

по правилу: каждому вектору a V2 поставим в соответствие вектор aϕ V2 , который получается из вектора a по-

Введем на плоскости прямоугольную декартовую систему координат Оху со стандартным ортонормированным

базисом {i, j}, и найдем относительно этого базиса матрицу линейного оператора σϕ , который будем называть опе-

ратором поворота системы координат Оху или просто оператором поворота на угол ϕ. Матрицу оператора поворота

будем называть матрицей поворота.

Для нахождения матрицы поворота нам нужно найти координаты векторов σϕ (i), σϕ (j) в базисе {i, j}:

σϕ(i) = ai +cj, σϕ(j) = bi +d j.

Тогда искомая матрица поворота, которую мы обозначим через Pϕ , будет равна

Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси:

a = прxσϕ(i) =| σϕ(i) | cos ϕ = cos ϕ, c = прyσϕ(i) =| σϕ(i) | sin ϕ =sin ϕ.

Так как вектор σϕ (i) получается из вектора i поворотом на угол ϕ против часовой стрелки вокруг начала координат,

d= прyσϕ(j) =| σϕ(j) | sin π +ϕ = cos ϕ.

2

28

п.9. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть f : V → V – линейный оператор, определенный на векторном пространстве V над полем K.

Определение. Ненулевой вектор x V называется собственным вектором линейного оператора f, если выполняется

равенство

f (x) = λx ,

где λK . Скаляр λ называется собственным числом линейного оператора f.

Определение. Линейный оператор f : V → V называется

диагонализируемым, если существует базис векторного пространства V, относительно которого его матрица является диагональной.

Теорема. (Первый необходимый и достаточный признак диагонализируемости линейного оператора.) Для того, чтобы линейный оператор был диагонализируемым, необходимо и достаточно, чтобы существовал базис из его собственных векторов.

Следствие. Матрица линейного оператора f относительно базиса {e1,e2 ,...,en } является диагональной:

тогда и только тогда, когда {e1,e2 ,...,en } – базис из собст-

венных векторов линейного оператора f, а диагональные элементы матрицы А являются его собственными числами.

Замечание. Всюду, далее, мы предполагаем, что V = Kn – пространство столбцов. Тогда любой линейный оператор f : Kn → Kn задается правилом:

X Kn , f (X) A X ,

где А – матрица оператора f относительно канонического базиса пространства столбцов. Такой линейный оператор часто обозначается той же буквой, что и его матрица:

A : Kn → Kn , X Kn , A(X) A X .

В этом случае, собственные числа и собственные векторы линейного оператора А называются собственными числами и собственными векторами матрицы А.

Собственный вектор матрицы А определяется как ненулевой столбец Х, для которого выполняется матричное

равенство:

A X = λX ,

где λ K – собственное число матрицы А.

Мы будем употреблять слова «линейный оператор» и «матрица» (имея ввиду квадратнуюматрицу) каксинонимы.

Например, мы будем называть матрицу А диагонализируемой, если существует базис арифметического пространства столбцов соответствующей высоты, относительно которого матрица A′ линейного оператора А имеет диагональный вид. Из 1-го необходимого и достаточного признака диагонализируемости линейного оператора следует, что матрица А является диагонализируемой тогда и только тогда, когда существует базис из собственных векторов матрицы А.

30

Обозначим через V(λ) множество всех собственных векто-

ров матрицы А, отвечающие одному и тому же собственному числу λ, и включим в это множество нулевой вектор:

V(λ) ={X Kn | AX = λX}.

Теорема. V(λ) = Ker (A −λE) , где Е – единичная матрица.

Следствие. Множество всех собственных векторов матрицы А, отвечающие одному и тому же собственному числу λ, является векторным подпространством пространства

столбцов Kn .

Определение. Подпространство V(λ) = Ker (A −λE) назы-

вается собственным подпространством, отвечающим собственному числу λ.

Теорема. Следующие утверждения равносильны:

1)λ есть собственное число матрицы А;

2)V(λ) = Ker (A −λE) ≠ 0 ;

3)det (A −λE) = 0 .

п.10. Характеристический многочлен линейного оператора.

Определение. Уравнение

det (A −λE) = 0

называется характеристическим уравнением линейного оператора А (матрицы А).

Характеристическое уравнение может быть записано в виде:

31

λn +a1λn−1 +...+an = 0 .

Из последней теоремы следует, что все собственные числа матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения, и наоборот, все корни характеристического уравнения матрицы А являются ее собственными числами.

Определение. Многочлен n-й степени от переменной λ

называется характеристическим многочленом квадратной матрицы А n-го порядка (линейного оператора А).

Теорема. (Свойства характеристического многочлена.)

1)Старший коэффициент характеристического многочлена равен 1.

2)Все корни характеристического многочлена являются собственными числами матрицы А.

3)Коэффициенты a1 и an характеристического много-

члена равны:

a1 = −tr A, an = (−1)n det A ,

где

tr A a11 +a22 +...+ann

– след матрицы А, т.е. сумма диагональных элементов матрицы А.

4)Характеристический многочлен матрицы А является

ееинвариантом, т.е. коэффициенты характеристического многочлена не изменяются при изменении базиса вектор-

ного пространства Kn .

Замечание. Термин «след матрицы» и его обозначение произошло от английского слова «trace», что в переводе обозначает «след». Часто применяется обозначение SpA ,

32

которое происходит от немецкого слова «Spur», которое тоже переводится как «след».

Последнее свойство характеристического многочлена нужно понимать следующим образом. Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка. Тогда относительно канонического базиса {e1,e2 ,...,en } арифметического пространства

столбцов Kn эта матрица является матрицей линейного оператора A : Kn → Kn , определенного правилом:

X Kn , A(X) A X ,

Пусть {u1,u2 ,...,un } – любой другой базис пространства

Kn , и матрица С – матрица перехода от канонического ба-

зиса {e1,e2 ,...,en } к новому базису {u1,u2 ,...,un }. Тогда

матрица A′ линейного оператора А относительно нового базиса будет равна

A′= C−1AC .

Последнее свойство характеристического многочлена состоит в том, что характеристические многочлены матриц А и A′ совпадают, т.е. они имеют равные степени и равные коэффициенты.

Определение. Квадратная матрица В n-го порядка называется подобной квадратной матрице А n-го порядка, если существует невырожденная матрица С n-го порядка, такая что B = C−1AC .

В терминах подобных матриц последнее свойство характеристического многочлена выглядит следующим образом.

Теорема. (Свойство инвариантности характеристического многочлена). Характеристические многочлены подобных матриц равны.

33

Замечание. Если матрица В подобна матрице А, то будем обозначать этот факт следующим образом:

B ~ A .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Отношение подобия на множестве квадратных матриц n-го порядка Mn (K) является отношением эквива-

лентности, т.е.

1)A Mn (K) , A ~ A (свойство рефлексивности);

2)(A ~ B) & (B ~ C) A ~ C (свойство транзитивности);

3)(A ~ B) B ~ A (свойство симметричности).

Втерминах подобия определение диагонализируемой матрицы может быть следующим.

Определение. Квадратная матрица называется диагонализируемой, если существует диагональная матрица подобная данной.

Из свойства инвариантности характеристического многочлена вытекают следующее утверждение.

Следствие. Подобные матрицы имеют равные след и определитель. Другими словами, если A ~ B , то tr A = tr B и det A = det B .

Предположим теперь, что поле K есть поле действительных чисел R. Тогда все коэффициенты характеристического многочлена суть действительные числа и среди его корней могут быть комплексные числа.

Над полем комплексных чисел С характеристический многочлен может быть разложен на линейные множители:

χA (λ) = (λ−λ1)(λ−λ2 )...(λ−λn ) , 34

где λ1,λ2 ,...,λn – все корни характеристического многочле-

на, которые являются собственными числами матрицы А. Отсюда сразу же вытекает следующее утверждение.

Следствие. Пусть А – произвольная вещественная квадратная матрица, тогда:

tr A =λ1 +λ2 +...+λn , det A = λ1 λ2 ... λn ,

где λ1 ,λ2 ,...,λn – все собственные числа матрицы А.

п.11. Признакидиагонализируемостилинейногооператора.

Лемма 1. Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.

Лемма 2. Пусть {u1,u2 ,...,uk } – система из собственных

векторов линейного оператора, отвечающих соответственно его попарно различным собственным числам: λ1,λ2 ,...,λk , тогда система {u1,u2 ,...,uk } является линейно

независимой.

Теорема. (Достаточный признак диагонализируемости линейного оператора.) Если все корни характеристического многочлена линейного оператора попарно различные, то он является диагонализируемым.

В дальнейшем нам понадобится понятие простого и кратного корня многочлена f(x) от одной переменной х. Для простоты, будем полагать, что все коэффициенты многочлена f(x) лежат в поле комплексных чисел С, т.е. являются действительными или комплексными числами. В этом случае, в силу основной теоремы алгебры, многочлен раскладывается на линейные множители:

f (x) = a (x −x1 )(x −x2 )...(x −xn ) ,

действительные числа, так и комплексные, как равные, так и различные. Пусть x1,x2 ,...,xk – все попарно различные

корни многочлена f(x). Тогда многочлен f(x) можно записать в виде

f (x) = a (x −x1)m1 (x −x2 )m2 ...(x −xk )mk ,

Определение. Разложение многочлена

f (x) = a (x −x1)m1 (x −x2 )m2 ...(x −xk )mk ,

где x1,x2 ,...,xk – все его попарно различные корни, называется каноническим разложением над полем комплексных

x3,4 = −1±2i – простые корни, корни кратности 1.

Определение. Кратность собственного числа λ линейного оператора, как корня характеристического многочлена, называется его алгебраической кратностью.

Определение. Пусть λ – собственное число линейного оператора, V(λ) – соответствующее собственное подпро-

странство. Тогда размерность подпространства V(λ) называется геометрической кратностью собственного числа λ.

Обозначение. Пусть λ – собственное число линейного оператора. Его алгебраическую кратность будем обозначать m(λ) , а его геометрическую кратность – n(λ) .

36

Теорема. (Второй необходимый и достаточный признак диагонализируемости линейного оператора.) Для того чтобы линейный оператор был диагонализируемым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его собственного числа λ его алгебраическая кратность была равна его геометрической кратности:

m(λ) = n(λ) .

Замечание 1. Так как, по определению, n(λ) = dimV(λ) , а V(λ) = Ker (A −λE) , где А – матрица линейного оператора,

то n(λ) = dimKer(A −λE) = n −rang(A −λE) , где n – поря-

док матрицы А.

Обозначим r(λ) rang (A −λE) , тогда n(λ) = n −r(λ) и

условие диагонализируемости можно записать так: m(λ) = n −r(λ) .

Замечание 2. Если А – диагонализируемая матрица n-го порядка над полем комплексных чисел С, то существует

базис пространства Cn из собственных векторов матрицы А. Чтобы найти этот базис, достаточно объединить базисы всех собственных подпространств.

Замечание 3. Проверяя диагонализируемость матрицы (линейного оператора), достаточно находить геометрическую кратность только тех собственных чисел, чья алгебраическая кратность больше 1, т.к. из второго необходимого и достаточного признака диагонализируемости линейного оператора следует следующее утверждение.

Следствие. Для того, чтобы линейный оператор был диагонализируемым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его кратного собственного числа λ его алгебраическая кратность была равна его геометрической кратности.

37

Однако, в нашем случае имеем:

Ответ: б) отображение f не является линейным.

в) Отображение f не является линейным. Докажем это.

любых действительных чисел λ. В частности, при λ = −1 должно выполняться равенство f (−X) = −f (X) . Однако это

не так. Пусть, например,

Ответ: в) отображение f не является линейным.

Задача 252. Найти матрицу линейного отображения при

изменении базисов.

Решение. Пусть f : V → W линейное отображение век-

торных пространств и А – его матрица относительно старых базисов пространств V и W. Пусть С – матрица перехода от старого базиса пространства V к его новому базису, D – матрица перехода от старого базиса пространства W к

39

его новому базису. Тогда матрица A′ линейного отображения f относительно новых базисов равна: A′ = D−1AC .

Следовательно, отображение определяется умножением фиксированной матрицы

x1

на столбец X = x2 R3 , и поэтому является линейным

x3

отображением, причем матрица А является матрицей этого отображения относительно канонических базисов пространств R3 и R2 .

40