Архив1 / docx53 / 2 (2)

1 Объект исследования

Задана система автоматического управления с четырьмя входами, описываемая дифференциальным уравнением

. (1)

Требуется составить математическую модель системы в нормальной форме пространства состояний

Провести исследования переходных характеристик САУ по каждому входу. Дать анализ результатов и сделать выводы.

Таблица 1 – Параметры математической модели (Вариант 5)

№
1.	3	24	51	30	0	0	0	50

2 Алгоритм исследования математических моделей систем управления

Предлагаемый алгоритм исследования математических моделей систем управления (рисунок 1) представляет собой замкнутый цикл исследований и включает четыре модуля.

1. Построение математических моделей “Вход – выход”.

2. Построение по математическим моделям “Вход – выход”

математических моделей в пространстве состояний.

3. Построение по математическим моделям “Вход – состояние – выход”

математических моделей “Вход – выход”.

4. Сравнительный анализ математических моделей. Выводы.

На первом этапе производится построение и исследование математических моделей “Вход – выход”: дифференциальных уравнений; передаточных функций; временных и частотных функций. Проверка правильности построения ММ на этом этапе проводится по результатам анализа весовых, переходных и частотных характеристик.

Рисунок 1 – Алгоритм исследования математических моделей систем управления

Вычисляют значение переходных характеристик, полученных по передаточным функциям, в начальный момент времени при и в установившемся режиме при . Сравнивают значения весовых функций с производными от переходных функций. Проводят прямое преобразование над весовыми функциями, результат которого передаточные функции.

Второй этап – построение по математическим моделям “Вход – выход” математических моделей “Вход – состояние – выход”, включает процедуры построения математических моделей САУ в нормальной и канонической форме пространства состояний, в форме простых множителей и в физических координатах состояния. На основании математических моделей в пространстве состояний численным методом вычисляют значения переходных функций, которые сравнивают с переходными функциями, найденными на первом этапе аналитически по передаточным функциям.

Если разность между сравниваемыми переходными характеристиками меньше заданного значения, то переходят к третьему этапу. В противном случае возвращаются ко второму этапу. Это позволяет контролировать правильность выполнения второго модуля исследования ММ.

На третьем этапе выполняют преобразование полученных математических моделей в пространстве состояний к математическим моделям “Вход – выход”. Совпадение полученных математических моделей с исходными математическими моделями “Вход – выход” свидетельствует о правильности проведенных преобразований.

В этом случае проводят сравнительный анализ всех полученных моделей, делают выводы (этап 4).

При несовпадении полученных в результате взаимообратных преобразований математических моделей “Вход – выход” с исходными возвращаются к третьему этапу и корректируют построение математических моделей “Вход – выход” по моделям в пространстве состояний.

3 Построение математической модели в пространстве

состояний нормальной формы первой модификации

1. Преобразование модели “Вход – выход” к передаточной функции полиномиальной (канонической) формы. Для выполнения заданий за основу принята математическая модель третьего порядка (3.1). Основой для преобразования математических моделей “Вход – выход” к математическим моделям пространства состояний нормальной формы являются передаточные функции в канонической форме. Для модели (1) передаточные функции принимают следующий вид.

, . (2)

2. Введение переменных состояния. В модель (1), соответствующую передаточной функции (2) введём переменные состояния

;

;

. (3)

Последнее уравнение из (3) решим относительно второй производной выхода и продифференцируем, получим

. (4)

Из заданной математической модели (1) выразим третью производную выходной координаты

или

, (5)

где .

3. Уравнение состояния. Подставим в (5) третью производную выходной координаты из (4) и решим полученное уравнение относительно первой производной первой координаты состояния

.

. (6)

Коэффициент в матрице управления определяется формулой

.

Выражения (2) – (6) определяют порядок введения в модель третьего порядка координат состояния.

Из (3) следует

; (7)

Объединяем уравнения (6) – (7) в систему

;

;

и записываем уравнение состояния в раскрытой векторно-матричной форме

. (8)

4. Уравнение выхода. Уравнение выхода следует из третьего уравнения (7)

. (9)

5. Модель нормальной формы пространства состояний с прямой причинно-следственной связью первой модификации. Объединение уравнений состояния (8) и выхода (9) приводит к математической модели нормальной формы пространства состояний

;

. (10)

6 Структурная схема математической модели САУ в нормальной форме пространства состояний первой модификации

На рисунках 2 приведена структурная схема математической модели САУ третьего порядка при отсутствии в передаточной функции нулей в нормальной форме пространства состояний первой модификации.

Рисунок 3.6 – Структурная схема математической модели в пространстве состояний

первой модификации при

4 Моделирование системы управления

Моделирование заданной системы управления проведено в среде Mathcad. Результаты моделирования заданной САУ представлены в Листинге 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе произведен анализ и моделирование математической модели. Построены математическая модель САУ в нормальной форме пространства состояний, проведено моделирование, построены переходные функции с использованием аналитических выражений и внормальной форме пространства состояний, которые подтверждают адекватность математической модели САУ в пространстве состояний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математическое моделирование и обработка информации в исследованиях на ЭВМ./И.А. Прошин, Усманов В.В.; Под ред. И.А. Прошина. – Пенза: ПТИ, 2000. – 422с.

2. Теория систем автоматического управления/В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т1: Анализ и синтез динамики систем автоматического управления/Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 748с.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т3: Методы современной теории автоматического управления/Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 748с.

5. Прошин И.А. Управление в вентильно-электромеханических системах. В 3-х кн. Кн. 3. Синтез управляемых вентильно-электромеханических систем. – Пенза: ПТИ, 2003. – 350с.

7