2.3 Аналитическое решение задачи

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти максимум функции F(x) при ограничениях:

3y₁+2y₂≤ 1

y₂≤ 1

5y₁+y₂≤ 1

Ф(y) = y₁+y₂→ max

Решаем эту систему симплексным методом.

Шаг 1

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	0	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x3	3	2	1	0	0	1	1/3
0	x4	0	1	0	1	0	1	∞
0	x5	5	1	0	0	1	1	1/5
cj		1	1	0	0	0	F = 0

Шаг 2

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	0	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x3	0	7/5	1	0	-3/5	2/5	2/7
0	x4	0	1	0	1	0	1	1
1	x1	1	1/5	0	0	1/5	1/5	1
cj		0	4/5	0	0	-1/5	F = 1/5

Шаг 3

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	0	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x2	0	1	5/7	0	-3/7	2/7	∞
0	x4	0	0	-5/7	1	3/7	5/7	5/3
1	x1	1	0	-1/7	0	2/7	1/7	1/2
cj		0	0	-4/7	0	1/7	F = 3/7

Шаг 4

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	0	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x2	3/2	1	1/2	0	0	1/2
0	x4	-3/2	0	-1/2	1	0	1/2
0	x5	7/2	0	-1/2	0	1	1/2
cj		1/2	0	1/2	0	0	F = 1/2

X _опт = ( 0 , 1/2 , 0 , 1/2 , 1/2 )

Значение функции: F= ½

Найдем минимум функции F(x) при ограничениях:

3x₁+5x₃ ≥ 1

2x₁+x₂+x₃ ≥ 1

F(x) = x₁+x₂+x₃ → min

Решаем эту систему симплексным методом.

Шаг 1

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	1	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x4	-3	0	-5	1	0	-1	1/5
0	x5	-2	-1	-1	0	1	-1	1
cj		1	1	1	0	0	F = 0

Шаг 2

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	1	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x3	3/5	0	1	1/5	0	1/5	∞
0	x5	-7/5	-1	0	-1/5	1	-4/5	4/5
cj		2/5	1	0	1/5	0	F = 1/5

Шаг 3

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	1	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x3	3/5	0	1	-1/5	0	1/5	1/3
1	x2	7/5	1	0	1/5	-1	4/5	4/7
cj		-1	0	0	0	1	F = 1

Шаг 4

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	1	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x1	1	0	5/3	-1/3	0	1/3	∞
1	x2	0	1	-7/3	2/3	-1	1/3	1/2
cj		0	0	5/3	-1/3	1	F = 2/3

Шаг 5

Сб	Xб	Cj					В	Min B/Pj
		1	1	1	0	0
		x1	x2	x3	x4	x5
1	x1	1	1/2	1/2	0	-1/2	1/2
0	x4	0	3/2	-7/2	1	-3/2	1/2
cj		0	1/2	1/2	0	1/2	F = 1/2

X _опт = ( 1/2 , 0 , 0 , 1/2 , 0 )

Значение функции: F = ½

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

p_i = g*x_i;

q_i = g*y_i.

Цена игры: g = 1 : ¹/₂= 2

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (1; 0; 0)

p₁= 2 •¹/₂= 1

p₂= 2 • 0 = 0

p₃= 2 • 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q(0,1)

q₁= 2 • 0 = 0

q₂= 2 •¹/₂= 1