1.3 Построение линий уровней, трехмерного графика целевой функции

Рисунок 1.3.1 – Линии уровня

Рисунок 1.3.2 – График целевой функции

1.4 Алгоритм решения задачи

Алгоритм решения задачи методом Франка-Вулфа заключаются в следующем:  1. Определение одного из допустимых решений.  2. Нахождение градиента функции f в точке допустимого решения. 3. Построение функции F и нахождение ее минимального значения при условиях исходной задачи.  4. Определение шага вычислений.  5. По формуле X(t+1) = X(t) + lk(Z(t) - X(t)) находят следующее допустимое решение.  6. Проверка необходимости перехода к следующему допустимому решению. В случае необходимости переход к этапу 2, если такой необходимости нет, то приемлемое решение найдено.

5. СХЕМА АЛГОРИТМА

На основании алгоритма решения задачи можно построить схему алгоритма, которая будет использоваться для написания программного обеспечения:

Рисунок 1.5.1 Блок-схема алгоритма

1.6 Описание программного обеспечения

Окно реализованного программного средства состоит из следующих областей:

1. Коэффициенты заданного нелинейного уравнения;

2. Точки, задающие ограничения;

3. Координаты начальной точки поиска;

4. Условие окончания поиска;

5. Найденные точки минимума;

6. Перечень всех произведенных транзакций.

Рисунок 1.6.1 – Окно программы

1.7 Руководство пользователя

Данная программа предназначена для нахождения минимума заданной функции. Область допустимых решений задана координатами вершин многоугольника. Также пользователем задается начальная точка поиска и условие окончания поиска.

Для того чтобы произвести расчет в данной программе пользователю необходимо ввести коэффициенты его уравнения, вершины многоугольника, задающего область допустимых значений, начальную точку и условие окончания поиска. После этого необходимо нажать кнопку «Высчитать». После этого будут выведены точки x1 иx2, в которых функция имеет наименьшее значение (при заданных ограничениях).

Также внизу окна будет выведена последовательность итераций, которая привела к данному результату.

Для корректной работы программы пользователю рекомендуется вводить в поля только числовые значения. Также для ввода дробных чисел необходимо вводить числа через запятую.

Программа успешно протестирована и готова к использованию.

1.8 Результаты выполнения программы

Ниже представлены результаты выполнения программы:

Рисунок 1.8.1 – Результат выполнения программы

Ниже представлена последовательность итераций, которая привела к данному результату:

Рисунок 1.8.2 - Последовательность итераций

Таким образом, по результатам работу программы при заданной точности 0,1 мы нашли точку (4;9), в которой функцияимеет наименьшее значение в области допустимых решений, заданной вершинами многоугольникаA(0,1),B(4,9),C(5,7),D(10,0).

2 Задача линейного программирования

2.1 Постановка задачи

Решение матричных игр методами линейного программирования.

Платежная матрица игры имеет вид:

3	2
0	1
5	1

Метод: Сведение задачи к паре задач линейного программирования

2.2 Графическое решение задачи

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B₁, правый - стратегии B₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).

2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B₂.

Решение игры проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующих и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A₁A₁ и A₂A₂, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 3 + (2 - 3)q₂

y = 0 + (1 - 0)q₂

Откуда

q₁ = 0

q₂ = 1

Цена игры, y = 2

q₁ = 1; q₂ = 0

Рисунок 2.2.1 Графическое решение задачи