Архив1 / docx31 / Лабораторная 1

R₁¹ =

Так как в матрице ∆R₁¹ все перестановочные коэффициенты отрицательны или равны нулю, то переставлять вершины первой части с вершинами других частей нецелесообразно. Для определе­ния возможности переставлять вершины вычисляем матрицу ∆R₂ размерности N₂*(N₃+…N_n)=N₂*N₃. В нашем случае

т.е. ∆R(v4,v7)=3, и переставляем вершины v4 и v7 .

	v2	v4	v8
v9	-4	-4	-3
v7	-3	-3	-4
v5	-4	-4	-3

∆R₂ =

Разбиение графа в результате второй итерации приведено на рис. 1.3в, а матрица смежности имеет вид

	v1	v6	v3	v7	v5	v2	v4	v8
v1	0	1	0	0	0	0	0	0
v6	1	0	0	0	0	0	1	0
v3	0	0	0	1	1	0	0	0
v4	0	0	1	0	1	0	0	1
v5	0	0	1	1	0	0	0	0
v2	0	0	0	0	0	0	1	1
v7	0	1	0	0	0	1	0	1
v8	0	0	0	1	0	1	1	0

S₂ =

Значение критерия после двух перестановок (Q=2) показы­вает, что три части графа соединены лишь двумя ребрами. При этом части I и 2 не имеют связей вообще.

На третье итерации ∆R₂¹ имеет вид

	v2	v4	v8
v9	-4	-4	-3
v7	-3	-3	-4
v5	-4	-4	-3

∆R₂¹ =

Так как все элементы матрицы ∆R₂ ¹ отрицательны, то других матриц ∆R строить не требуется. На этом решение задачи раз­биения графа на 3 части, заканчивается.

Отметим, что при расчете перестановочных коэффициентов r_ij значения одних и тех же чисел связности типа ∆S_qp(v_i) используются для вычисления нескольких значений r_ij . Так, в рассмо­тренном примере для вычисления r₁₃, r₁₄, а также r₁₅, используется предварительно рассчитанное значение ∆S₂₁(v₁). Это служит основой другой модификации итерационного алгоритма, в соответствии с которым вначале вычисляются числа связности всех вершин. Для рассматриваемого примера результаты вычисле­ний удобно представить о виде следующей таблицы:

v1 v2	v3 v4 v5	v6 v7 v9
	∆S12(v3) ∆S21(v1) ∆S21(v5)	∆S13(v6) ∆S13(v7) ∆S13(v8)
∆S21(v1) ∆S21(v1)		∆S23(v6) ∆S23(v7) ∆S23(v8)
∆S31(v1) ∆S31(v2)	∆S32(v3) ∆S32(v4) ∆S32(v5)

Используя ту же самую методику подсчета ∆S_qp(vi) получим следующее значение чисел связности:

v1 v2	v3 v4 v5	v6 v7 v9
	-1 +1 -1	+1 -1 0
0 +1		+1 +1 0
+1 +1	0 +2 0

Анализ этой таблицы показывает, что положительные значе­ния перестановочных коэффициентов r_ij могут быть получены при перестановках вершин 1 - в часть 3, вершины 2 - в части 2 и 3, вершины 4 - в части 1 и 3, вершины 6 - в части 1 и 2, вершины 7- в часть 2, для которых значения ∆S_qp(v_i) >0 .

Так как при перестановках вершины меняются местами, то наибольшее значение r_ij следует ожидать при перестановке вер­шины 4 из частя 2 в часть 3, т.е. ее замену на вершину 6 или 7 принадлежащая части З. При этом

∆S₃₂(v₄)+ ∆S₂₃(v₆)=2+1=3

и

∆S₁₂(v₄)+ ∆S₂₃(v₆)=2+1=3

Однако вершины 4 и 6 смежны (S₄₆=1), а вершины 4 и 7 несмежны (S₄₇=0), поэтому более эффективна, что подтверждается расчётом перестановочных коэффициентов по формуле (1.9):

r₄₆=2+1-2∙1=1; r₄₇=2∙1-2∙0=3

Следовательно, вершину 4 переносим в часть 3, а вершину 7- в часть 2. Матрица смежности после первой итерации имеет следующий вид:

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8
v1	0	0	0	0	0	1	0	0
v2	0	0	0	0	0	0	1	1
V3	0	0	0	1	1	0	0	0
v7	0	0	1	0	1	0	0	1
v5	0	0	1	1	0	0	0	0
v6	1	0	0	0	0	0	1	0
v4	0	1	0	0	0	1	0	1
v8	0	1	0	1	0	0	1	0

Таким обрезом, после первой итерации значение критерия оптимальности стало Q=4 , сразу уменьшившись на 3. На второй итерации в результате расчета чисел связности получим таблицу

v1 v2	v3 v7 v5	v6 v7 v8
	-2 -2 -2	0 -1 0
0 0		-1 -2 0
+1 +2	-2 -1 -2

Она показывает, что наиболее эффективна перестановка вершин 1 или 2 из части 1в часть 3: ∆S₃₁(v₁)=+1; ∆S₃₁(v₂)=+2. При этом из части 3 в часть 1 можно переставить лишь вершину 6 или 8 (∆S₁₃(v₄)=0 и ∆S₁₃(v₈)=0). Подсчет перестановочных коэффициентов по формуле(1.9) дает

r₁₆=1+0-2∙1=-1;

r₁₈=1+0-2∙0=+1;

r₂₆=2+0-2∙0=+2;

r₂₈=2+0-2∙1=0;

Следовательно, надо поменять местами вершины 2 и 6. Матри­ца смежности примет вид

	v1	v6	v3	v7	v5	v2	v4	v8
v1	0	1	0	0	0	1	0	0
v6	1	0	0	0	0	0	1	0
v3	0	0	0	1	1	0	0	0
v7	0	0	1	0	1	0	0	1
v5	0	0	1	1	0	0	1	0
v2	0	0	0	0	0	0	1	1
v4	0	1	0	0	1	1	0	1
v8	0	0	0	1	0	1	1	0

Суммируя ненулевые элементы недиагональных подматриц, получим значение критерия Q=0+1+1=2. Вновь рассчитав числа связности будем иметь таблицу

v1 v2	v3 v4 v5	v6 v7 v8
	-2 -2 -2	-2 -1 -2
-1 -1		-2 -2 -1
-1 0	-2 -1 -2

которая не содержит положительных значений. Следовательно, никакой перестановки вершин не будет соответствовать положительный перестановочный коэффициент. Это означает, что никакая перестановка не приведет к уменьшению числа внешних связей кусков графа, поэтому решение задачи заканчиваем.

Полученный результат (см. рис. 1.3в) совпадает с решением, которое было найдено ранее (тоже за две итерации), но другим методом и с другими промежуточными результатами.

При разработке программы решения задачи компоновки итерационным алгоритмом удобно перестановочные коэффициенты рассчитывать следующим образом.

1. Вводится стандартная матрица F=||f_ij||_m*m, в которой по главной части диагонали располагаются единичные подматрицы размерностями N₁*N₁,N₂*N₂,…N_n*N_n. Для нашего примера

1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0	0
0	0	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1

F=

2. Рассчитывается матрица A=||a_ij||_m*m как результат умножения матриц A=F*S, т.е..

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	0	0	1	0	1	0	1
2	0	0	0	1	0	1	2	1
3	0	1	1	0	1	1	2	1
4	0	1	1	0	1	1	2	1
5	0	1	1	0	1	1	2	1
6	1	1	1	2	1	0	1	1
7	1	1	1	2	1	0	1	1
8	1	1	1	2	1	0	1	1

В нашем случае

A=

3. Образуется матрица -инверсия матрицы F;

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	0	1	1	1	1	1	1
2	0	0	1	1	1	1	1	1
3	1	1	0	0	0	1	1	1
4	1	1	0	0	0	1	1	1
5	1	1	0	0	0	1	1	1
6	1	1	1	1	1	0	0	0
7	1	1	1	1	1	0	0	0
8	1	1	1	1	1	0	0	0

=

и рассчитывается матрица как поэлементное перемножение матриц и S , т.е. w_ij=f_ij∙S_ij. • Для рассматриваемого примера