МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Лабораторная работа №4 «Применение теории игр в задачах принятия решений» Вариант 1

Выполнила: студентка группы 395 Корепанова Е.В. Проверила: доцент, к.т.н. Цыганова М.С.

Тюмень – 2019

1. Матрица игры со значениями выиграшей.

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ – тепловые, А₂ – приплотинные, А₃ – безшлюзовые, А₄ – шлюзовые. Эффективность каждого из типов электростанций определяется сочетанием различных факторов, в том числе факторов, зависящих от случайных явлений (погодных условий, режима рек, стоимости топлива и его перевозки, сейсмической обстановки района и т. п.).

Пусть число возможных сочетаний факторов равно четырем. Обозначим эти сочетания как состояния природы П₁, П₂, П₃, П₄.

Экономическая эффективность каждого типа электростанций в зависимости от состояний природы описывается платежной матрицей.

№ варианта	a11	a12	a13	a14	a21	a22	a23	a24	a31	a32	a33	a34	a41	a42	a43	a44
1	5	2	8	4	2	3	4	12	8	5	3	10	1	4	2	8

Пj Аi	П1	П2	П3	П4
А1 А =	5	2	8	4
А2	2	3	4	12
А3	8	5	3	10
А4	1	4	2	8

Упорядочим строки по возрастанию:

Пj Аi	П1	П2	П3	П4
А1 А =	2	4	5	8
А2	2	3	4	12
А3	3	5	8	10
А4	1	2	4	8

2. Результаты расчетов и оптимальные чистые стратегии игрока по критериям.

Критерий Вальда:

Нахождению по критерию Вальда соответствует поиск максимального элемента в первом столбце матрицы Б, принадлежащего оптимальной стратегии;

_.

_{Стратегия A3 является оптимальной.}

Критерий Максимакса:

Нахождению критерия максимакса соответствует поиск максимального элемента в последнем столбце матрицы Б, принадлежащего оптимальной стратегии.

Оптимальной являются стратегия А₂.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица в опасной ситуации:

Нахождению показателя оптимизма соответствует отношение суммы элементов первого столбца матрицы Б к сумме элементов первого и последнего столбцов матрицы.

Показатель оптимизма λ = λ_4.

Соответственно показатель пессимизма:

Показатели эффективности стратегий:

Таким образом, оптимальной является стратегия А₃.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица в безопасной ситуации:

Нахождению показателя оптимизма соответствует отношение суммы элементов последнего столбца к сумме элементов первого и последнего столбцов.

Показатель пессимизма:

Таким образом, оптимальной является стратегия А₂.

Обобщенный критерий Гурвица в опасной ситуации:

Это нахождение коэффициентов λ_i = отношение суммы элементов j столбца на сумму всех элементов; (j=кол-во столбцов..1) (i=1..кол-во столбцов).

Нахождение показателей эффективности стратегий:

сумма произведений i-того элемента на λ_i;

Оптимальная стратегия: максимум из показателей эффективности стратегий.

Для опасной ситуации выберем коэффициенты λ₁, λ₂, λ₃, λ_4.

2+ 2 + 3 + 1 + 4 + 3 + 5 + 2 + 5 + 4 + 8 + 4 + 8 + 12 + 10 + 8 = 81

Показатели эффективности стратегий:

Оптимальной является стратегия А₃.

Показатели пессимизма и оптимизма соответственно равны:

Обобщенный критерий Гурвица в безопасной ситуации:

Нахождение коэффициентов λ_i = отношение суммы элементов i столбца на сумму всех элементов; (i=1..кол-во столбцов).

Нахождение показателей эффективности стратегий: сумма произведений i-того элемента на λ_i.

Оптимальная стратегия: максимум из показателей эффективности стратегий.

Для безопасной ситуации выберем коэффициенты λ₁, λ₂, λ₃, λ₄.

Вычислим показатели эффективности стратегий:

Оптимальной является стратегия А₃.

Вывод: Обобщенный критерий Гурвица при указанном выборе коэффициентов не делает различий между опасной и безопасной ситуациями и даёт однозначное значение стратегии А₃.

Показатели пессимизма и оптимизма соответственно равны:

3. Матрица рисков

Пусть матрица выигрышей имеет вид:

Пj Аi	П1	П2	П3	П4
А1	5	2	8	4
А2	2	3	4	12
А3	8	5	3	10
А4	1	4	2	8

Дополним матрицу строкой показателей благоприятности состояний природы:

Пj Аi	П1	П2	П3	П4
А1	5	2	8	4
А2	2	3	4	12
А3	8	5	3	10
А4	1	4	2	8
Bj	8	5	8	12

Далее каждый элемент а_ijзаменим разностью:

Пj Аi	П1	П2	П3	П4
А1	3	3	0	8
А2	6	2	4	0
А3	0	0	5	2
А4	7	1	6	4

В каждой строке матрицы переставим риски, расположив их в невозрастающем порядке, и обозначим полученную матрицу через D:

Пj Аi	1	2	3	4
D1 D =	8	3	3	0
D2	6	4	2	0
D3	5	2	0	0
D4	7	6	4	1

В матрице D в первом столбце – максимальные, а в последнем столбце – минимальные риски для каждой стратегии:

1. Результаты расчетов и оптимальные чистые стратегии игрока по критериям

Критерий Сэвиджа:

Поиск минимального элемента в первом столбце матрицы D. Этот элемент будет принадлежать оптимальной стратегии.

Максимальный риск является минимальным среди максимальных рисков всех чистых стратегий. В данном случае это стратегииА_3.

Критерий Миниминна:

Нахождение минимального элемента в последнем столбце матрицы D. Этот элемент будет принадлежать оптимальной стратегии;

Минимальный риск, при котором хотя бы один риск равен 0. Такие стратегии – A₁, A₂, A₃.

Обобщенный критерий Гурвица в опасной ситуации:

Нахождение коэффициентов λ_i = отношение суммы элементов j столбца матрицы D на сумму всех элементов матрицы D; (j=кол-во столбцов..1) (i=1..кол-во столбцов).

Нахождение показателей эффективности стратегий:

сумма произведений i-того элемента на λ_i;

_{Оптимальная стратегия:} минимум из показателей эффективности стратегий.

Минимальным риском в опасной ситуации является стратегия А_3.

Показатели пессимизма и оптимизма соответственно равны:

Обобщенный критерий Гурвица в безопасной ситуации:

Нахождение коэффициентов λ_i = отношение суммы элементов i столбца матрицы D на сумму всех элементов матрицы D; (i=1..кол-во столбцов).

Нахождение показателей эффективности стратегий:

сумма произведений i-того элемента на λ_i;

Оптимальная стратегия: минимум из показателей эффективности стратегий.

Минимальным риском в безопасной ситуации является стратегия А_3.

Показатели пессимизма и оптимизма соответственно равны:

12