ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
КАЖДАЯ СТРОКАAЛЕВОЙB
МАТРИЦЫA левая матрица,СКАЛЯРНОB правая матрица
УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ
ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
345
|
|
|
7 |
2 2 |
3 8 1 |
||||
|
4 8 2 7 |
0 2 |
||
|
||||
|
|
6 |
7 |
1 2 |
|
5 8 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|
7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
|
|||
3 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
21 |
|||||
|
4 1 2 2 0 |
|
|
|
46 |
||||
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
5 1 6 2 |
|
3 |
|
|||||
5
8
4
УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ
|
7 |
|
|
|
7 2 |
|
7 5 |
|
|
7 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
0 3 |
|
|||||||||
|
0 2 |
5 3 |
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
4 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
35 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Единичная матрица |
|
E |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
(размер 3 на 3) |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Нулевая матрица |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
(размер 3 на 3) |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ:
A•E=E•A=A |
0 |
|
|
5 |
7 |
4 |
|
|||||
|
5 |
7 |
4 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
6 8 |
|
|
0 |
|
|
|
6 8 |
|||
|
0 1 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
4 |
0 |
|
|
11 |
0 |
|
|
11 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
5 |
7 |
4 |
|
|
5 |
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 8 |
|
|
|
6 8 |
||
0 1 0 |
|
3 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
4 |
0 |
|
|
4 |
0 |
||
0 |
|
11 |
|
|
11 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§1. Матрицы и действия над ними
1.Определение и некоторые виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов.
Если m n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы. Например, a24 –
a13 –
a a a |
|
a a a |
|
|||||
|
11 12 |
1n |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
a a |
a |
a a |
a |
|
||||
A |
21 22 |
2n , A 21 22 |
2n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
a |
|
a a |
|
a |
|
|||||
|
m1 m2 |
|
|
m1 |
m2 |
|
||
|
mn |
|
|
mn |
||||
A(a), (i 1,m, j 1,n)
ij
A(a), (i,j 1,n)
ij
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij bij.
Некоторые частные случаи матриц
a
11
1)Матрицу 21 ,размера называют
A a (a) m1
i1
a
m1
матрицей-столбцомдлиныm
2)МатрицуAaaa(a),размера
1121n 1i
называютматрицей-стркойдлиныn
3)Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю:
0 |
0 |
|
0 |
||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
O |
|
||||
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
4)ПустьA(a), (i1,m,j1,n)
ij
Элементы a11, a22, …, akk (где k min{m,n}) будем называть
элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
a11 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
a |
|
0 |
|
A |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
ann |
|
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной:
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
||||
Обозначают: E или En.
5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы
a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
a11
0 A 00
c11
Cc21
c31
cn1
a12 a22
0
0
0
c22 c32
cn2
a13 |
|
a1n |
|
||
a |
23 |
|
a |
|
|
|
|
|
2n |
, |
|
a33 |
|
a3n |
|||
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
ann |
|
||||
00
00
c |
|
0 |
|
, |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
cn3 |
|
|
|
|
cnn |
|
|||
b11
b21
B b31
bn1
0
0
D 0
dn1
b1,n 2
b2,n 2
b3,n 2
0
0
0
d3,n 2
dn,n 2
b1,n 1
b2,n 1
0
0
0
d2,n 1
d3,n 1
dn,n 1
b1n
0
0 ,
0
d1n d2n d3n
dnn