Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Пензенский государственный университет
Кафедра «Высшая и прикладная математика»
Отчет о выполнении лабораторной работы №5
по дисциплине:
«Теория приближения функций»
Выполнили ст. гр. 09ЕП1:
Бакурская А.И. Проверила: Кудряшова Н. Ю.
Пенза, 2012
Тема: Разложение функций в ряд по ортогональным многочленам.
Цель работы: исследование приближения функций посредством их разложения в ряды по ортогональным многочленам.
Постановка
задачи:
приблизить функцию
,
разложив ее в ряд Фурье – Чебышева
первого и второго рода, а также в ряд
Фурье – Лежандра. Исследовать точность
и устойчивость разложений, оценить
влияние особых точек функции на
устойчивость и точность.
Варианты заданий:
Вариант 1.
Модельная задача:
Теоретическая часть
Рассмотрим многочлены Чебышева первого рода
.
(1)
Для многочленов (1) справедливо рекуррентное соотношение
.
(2)
Многочлены
Чебышева (1) ортогональны на сегменте
с весовой функцией
.
Справедливо соотношение
(3)
Следовательно, ортонормированные многочлены Чебышева первого рода выражаются через многочлены (1) следующим образом:
,
.
(4)
Если функция
задана на сегменте
и интегрируема с весом
,
то, определяя коэффициенты Фурье –
Чебышева
,
(5)
этой функции, поставим в соответствие ряд Фурье по многочленам Чебышева первого рода
.
(6)
Многочлены Чебышева второго рода определяются формулой
.
(7)
Рекуррентное соотношение для многочленов Чебышева второго рода имеет вид
.
(8)
Многочлены (6)
ортогональны на сегменте
с весом
.
Справедливо соотношение
Следовательно, ортонормированные многочлены Чебышева второго рода выразятся по формуле
.
(9)
Пусть на сегменте
задана функция
,
интегрируемая с весом
.
Тогда, определяя коэффициенты Фурье по
формуле
(10)
поставим в
соответствие функции
ее ряд Фурье по многочленам Чебышева
второго рода
.
(11)
Многочлены Лежандра определяются формулой Родрига
.
(12)
Многочлены
Лежандра ортогональны на сегменте
с весом
.
Справедливо соотношение
Следовательно, ортонормированные многочлены Лежандра имеют следующий вид:
.
(13)
Если функция
интегрируема на сегменте
,
то можно определить коэффициенты Фурье
по многочленам Лежандра
(14)
и поставить этой функции в соответствие ряд Фурье – Лежандра
.
(15)
Листинг программы
program Chebishev_Lezhandr;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
const
a=0+0.1;
b=1-0.1;
k=11;
n=150;
m=200;
var
i,j:integer;
h:extended;
z:array[0..m] of extended;
x,sum_1,sum_2,sum_3:array[0..n] of extended;
function f(x0:real):real;
begin
f:=1/x0;
{f:=(1/x0)*ln(x0); }
{randomize;
f:=1/x0+random*0.0001; }
{randomize;
f:=(1/x0)*ln(x0)+random*0.0001;}
end;
function T_n(x1:extended;n1:integer):extended;
var t0,t1,t:extended; ii:integer;
begin
t0:=1;
t1:=x1;
if n1=0 then t:=1 else
if n1=1 then t:=x1 else
begin
for ii:=2 to n1 do
begin
t:=2*x1*t1-t0;
t0:=t1;t1:=t;
end;
end;
if n1=0 then T_n:=sqrt(1/pi) else
T_n:=sqrt(2/pi)*t;
end;
function U_n(x1:extended;n1:integer):extended;
var u0,u1,u:extended; ii:integer;
begin
u0:=1;
u1:=2*x1;
if n1=0 then u:=1 else
if n1=1 then u:=2*x1 else
begin
for ii:=2 to n1 do
begin
u:=2*x1*u1-u0;
u0:=u1;u1:=u;
end;
end;
U_n:=sqrt(2/pi)*u;
end;
function P_n(x1:extended;n1:integer):extended;
var r0,r1,r:extended;ii:integer;
begin
r0:=1;
r1:=x1;
if n1=0 then r:=1 else
if n1=1 then r:=x1 else
begin
for ii:=2 to n1 do
begin
r:=(2*ii-1)*x1*r1/ii-(ii-1)*r0/ii;
r0:=r1;r1:=r;
end;
end;
P_n:=sqrt((2*n1+1)/2)*r;
end;
function an1(s:integer):real;
var
i1,i2:integer;
p:real;
begin
h:=(b-a)/m;
for i1:=0 to m do
z[i1]:=a+i1*h;
p:=0;
for i2:=0 to m-1 do
p:=p+(f(z[i2])*T_n((2/(b-a))*z[i2]-(b+a)/(b-a),s)/sqrt(-a*b-sqr(z[i2])+z[i2]*(b+a))+f(z[i2+1])*T_n((2/(b-a))*z[i2+1]-(b+a)/(b-a),s)/sqrt(-a*b-sqr(z[i2+1])+z[i2+1]*(b+a)));
an1:=(h/2)*p;
end;
function an2(s:integer):real;
var
i1,i2:integer;
p:real;
begin
h:=(b-a)/m;
for i1:=0 to m do
z[i1]:=a+i1*h;
p:=0;
for i2:=0 to m-1 do
p:=p+(f(z[i2])*U_n((2/(b-a))*z[i2]-(b+a)/(b-a),s)*sqrt(-a*b-sqr(z[i2])+z[i2]*(b+a))+f(z[i2+1])*U_n((2/(b-a))*z[i2+1]-(b+a)/(b-a),s)*sqrt(-a*b-sqr(z[i2+1])+z[i2+1]*(b+a)));
an2:=(4/sqr(b-a))*(h/2)*p;
end;
function anl(s:integer):real;
var
i1,i2:integer;
p:real;
begin
h:=(b-a)/m;
for i1:=0 to m do
z[i1]:=a+i1*h;
p:=0;
for i2:=0 to m-1 do
p:=p+(f(z[i2])*P_n((2/(b-a))*z[i2]-(b+a)/(b-a),s)+f(z[i2+1])*P_n((2/(b-a))*z[i2+1]-(b+a)/(b-a),s));
anl:=(2/(b-a))*(h/2)*p;
end;
begin
{ TODO -oUser -cConsole Main : Insert code here }
for i:=0 to k do
begin
x[i]:=a+i*(b-a)/k;
{writeln('x=',x[i]:6:4);}
end;
for i:=0 to k do
begin
sum_1[i]:=0;
for j:=0 to n do
begin
sum_1[i]:=sum_1[i]+an1(j)*T_n((2/(b-a))*x[i]-(b+a)/(b-a),j);
end;
end;
writeln('Chebishev 1 roda');
writeln(' uzli znach_funkcii summa pogreshnost');
for i:=0 to k do
writeln(x[i]:7:4,' ',f(x[i]):7:6,' ',sum_1[i]:7:6,' ',abs(sum_1[i]-f(x[i])));
writeln;
for i:=0 to k do
begin
sum_2[i]:=0;
for j:=0 to n do
begin
sum_2[i]:=sum_2[i]+an2(j)*U_n((2/(b-a))*x[i]-(b+a)/(b-a),j);
end;
end;
writeln('Chebishev 2 roda');
writeln(' uzli znach_funkcii summa pogreshnost');
for i:=0 to k do
writeln(x[i]:7:4,' ',f(x[i]):7:6,' ',sum_2[i]:7:6,' ',abs(sum_2[i]-f(x[i])));
writeln;
for i:=0 to k do
begin
sum_3[i]:=0;
for j:=0 to n do
begin
sum_3[i]:=sum_3[i]+anl(j)*P_n((2/(b-a))*x[i]-(b+a)/(b-a),j);
end;
end;
writeln('Lezhandr');
writeln(' uzli znach_funkcii summa pogreshnost');
for i:=0 to k do
writeln(x[i]:7:4,' ',f(x[i]):7:6,' ',sum_3[i]:7:6,' ',abs(sum_3[i]-f(x[i])));
writeln;
ReadLn;
end.
Результаты выполнения программы
для модельной задачи
N=50
Chebishev 1 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.451664 4.48336309314557E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.737842 1.47815872186413E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.563229 9.49840732499437E-0003
-0.4091 -0.409091 -0.416152 7.06103578335825E-0003
-0.2455 -0.245455 -0.243193 2.26149798506463E-0003
-0.0818 -0.081818 -0.077027 4.79138831729652E-0003
0.0818 0.081818 0.077027 4.79138831729642E-0003
0.2455 0.245455 0.243193 2.26149798506466E-0003
0.4091 0.409091 0.416152 7.06103578335821E-0003
0.5727 0.572727 0.563229 9.49840732499437E-0003
0.7364 0.736364 0.737842 1.47815872186404E-0003
0.9000 0.900000 0.451664 4.48336309314557E-0001
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.462076 4.37924097862029E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.744368 8.00452924841985E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.571547 1.18018952530815E-0003
-0.4091 -0.409091 -0.408714 3.76562987249217E-0004
-0.2455 -0.245455 -0.244657 7.97359556876229E-0004
-0.0818 -0.081818 -0.084017 2.19922879877751E-0003
0.0818 0.081818 0.084017 2.19922879877754E-0003
0.2455 0.245455 0.244657 7.97359556876210E-0004
0.4091 0.409091 0.408714 3.76562987249231E-0004
0.5727 0.572727 0.571547 1.18018952530818E-0003
0.7364 0.736364 0.744368 8.00452924841985E-0003
0.9000 0.900000 0.462076 4.37924097862029E-0001
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.460487 4.39513498025971E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.741033 4.66946423306278E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.569369 3.35798869176589E-0003
-0.4091 -0.409091 -0.410714 1.62261890939292E-0003
-0.2455 -0.245455 -0.244467 9.87635237457556E-0004
-0.0818 -0.081818 -0.081883 6.53000192731120E-0005
0.0818 0.081818 0.081883 6.53000192730325E-0005
0.2455 0.245455 0.244467 9.87635237457558E-0004
0.4091 0.409091 0.410714 1.62261890939287E-0003
0.5727 0.572727 0.569369 3.35798869176595E-0003
0.7364 0.736364 0.741033 4.66946423306279E-0003
0.9000 0.900000 0.460487 4.39513498025972E-0001
N=100
Chebishev 1 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.450281 4.49719155587433E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.742137 5.77326885168565E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.568246 4.48159846392832E-0003
-0.4091 -0.409091 -0.405293 3.79839308978636E-0003
-0.2455 -0.245455 -0.244062 1.39262975876690E-0003
-0.0818 -0.081818 -0.085163 3.34461722731785E-0003
0.0818 0.081818 0.085163 3.34461722731793E-0003
0.2455 0.245455 0.244062 1.39262975876693E-0003
0.4091 0.409091 0.405293 3.79839308978639E-0003
0.5727 0.572727 0.568246 4.48159846392829E-0003
0.7364 0.736364 0.742137 5.77326885168557E-0003
0.9000 0.900000 0.450281 4.49719155587433E-0001
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.457414 4.42586289479815E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.737619 1.25564215140842E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.572297 4.30549837155061E-0004
-0.4091 -0.409091 -0.408944 1.46479500688685E-0004
-0.2455 -0.245455 -0.245229 2.25118364563840E-0004
-0.0818 -0.081818 -0.081893 7.43275925272220E-0005
0.0818 0.081818 0.081893 7.43275925272462E-0005
0.2455 0.245455 0.245229 2.25118364563804E-0004
0.4091 0.409091 0.408944 1.46479500688696E-0004
0.5727 0.572727 0.572297 4.30549837155101E-0004
0.7364 0.736364 0.737619 1.25564215140842E-0003
0.9000 0.900000 0.457414 4.42586289479815E-0001
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.454452 4.45547823865936E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.739817 3.45344350034992E-0003
-0.5727 -0.572727 -0.570567 2.16066418303542E-0003
-0.4091 -0.409091 -0.407460 1.63103237187071E-0003
-0.2455 -0.245455 -0.244886 5.69000174535368E-0004
-0.0818 -0.081818 -0.083130 1.31159881022132E-0003
0.0818 0.081818 0.083130 1.31159881022123E-0003
0.2455 0.245455 0.244886 5.69000174535391E-0004
0.4091 0.409091 0.407460 1.63103237187073E-0003
0.5727 0.572727 0.570567 2.16066418303548E-0003
0.7364 0.736364 0.739817 3.45344350034988E-0003
0.9000 0.900000 0.454452 4.45547823865936E-0001
N=150
Chebishev 1 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.454499 4.45500828782203E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.736069 2.94545200756367E-0004
-0.5727 -0.572727 -0.572604 1.23450655489110E-0004
-0.4091 -0.409091 -0.409180 8.86896297059069E-0005
-0.2455 -0.245455 -0.245377 7.78111198653586E-0005
-0.0818 -0.081818 -0.081773 4.47436916159448E-0005
0.0818 0.081818 0.081773 4.47436916158641E-0005
0.2455 0.245455 0.245377 7.78111198653791E-0005
0.4091 0.409091 0.409180 8.86896297058679E-0005
0.5727 0.572727 0.572604 1.23450655489087E-0004
0.7364 0.736364 0.736069 2.94545200756429E-0004
0.9000 0.900000 0.454499 4.45500828782203E-0001
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.454838 4.45162442837034E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.736288 7.56027692685691E-0005
-0.5727 -0.572727 -0.572669 5.83009302639163E-0005
-0.4091 -0.409091 -0.409118 2.73466264746391E-0005
-0.2455 -0.245455 -0.245450 4.31168331860983E-0006
-0.0818 -0.081818 -0.081815 3.60967795290275E-0006
0.0818 0.081818 0.081815 3.60967795287702E-0006
0.2455 0.245455 0.245450 4.31168331857931E-0006
0.4091 0.409091 0.409118 2.73466264746263E-0005
0.5727 0.572727 0.572669 5.83009302639613E-0005
0.7364 0.736364 0.736288 7.56027692685678E-0005
0.9000 0.900000 0.454838 4.45162442837034E-0001
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
-0.9000 -0.900000 -0.454736 4.45264145480989E-0001
-0.7364 -0.736364 -0.736237 1.26886662726105E-0004
-0.5727 -0.572727 -0.572644 8.37163324389996E-0005
-0.4091 -0.409091 -0.409138 4.70461263241108E-0005
-0.2455 -0.245455 -0.245438 1.66433187389671E-0005
-0.0818 -0.081818 -0.081807 1.11333672273758E-0005
0.0818 0.081818 0.081807 1.11333672274513E-0005
0.2455 0.245455 0.245438 1.66433187389986E-0005
0.4091 0.409091 0.409138 4.70461263240819E-0005
0.5727 0.572727 0.572644 8.37163324390722E-0005
0.7364 0.736364 0.736237 1.26886662726149E-0004
0.9000 0.900000 0.454736 4.45264145480990E-0001
1 вариант
N=50 eps=0.1
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 5.721168 6.83055535567769E-0002
0.2455 4.074074 4.073916 1.57893120645081E-0004
0.3182 3.142857 3.116982 2.58746642428003E-0002
0.3909 2.558140 2.571996 1.38560210539384E-0002
0.4636 2.156863 2.146570 1.02924645730329E-0002
0.5364 1.864407 1.874367 9.95976904471944E-0003
0.6091 1.641791 1.633931 7.85962686237669E-0003
0.6818 1.466667 1.463903 2.76407307475309E-0003
0.7545 1.325301 1.341977 1.66754419228734E-0002
0.8273 1.208791 1.203492 5.29907471280567E-0003
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 5.128263 6.61210666660657E-0001
0.2455 4.074074 4.187503 1.13428518613710E-0001
0.3182 3.142857 2.781487 3.61370283967939E-0001
0.3909 2.558140 2.751708 1.93568448155933E-0001
0.4636 2.156863 1.994899 1.61963752893962E-0001
0.5364 1.864407 2.036844 1.72436828293851E-0001
0.6091 1.641791 1.487135 1.54655754724421E-0001
0.6818 1.466667 1.489968 2.33010563751288E-0002
0.7545 1.325301 1.570114 2.44812890694060E-0001
0.8273 1.208791 1.281689 7.28980721464752E-0002
N=100 eps=0.1
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 5.528696 2.60777373382289E-0001
0.2455 4.074074 4.074154 7.97815801881320E-0005
0.3182 3.142857 3.128876 1.39812275109927E-0002
0.3909 2.558140 2.479710 7.84290502022884E-0002
0.4636 2.156863 2.090444 6.64184289844027E-0002
0.5364 1.864407 1.817993 4.64138461809291E-0002
0.6091 1.641791 1.598612 4.31794795198776E-0002
0.6818 1.466667 1.401263 6.54038344945684E-0002
0.7545 1.325301 1.394161 6.88594425455146E-0002
0.8273 1.208791 1.123720 8.50714770838616E-0002
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 4.438856 1.35061785751553E+0000
0.2455 4.074074 4.286136 2.12062299747631E-0001
0.3182 3.142857 2.958094 1.84763340333746E-0001
0.3909 2.558140 2.067957 4.90182302137495E-0001
0.4636 2.156863 1.748241 4.08622147975160E-0001
0.5364 1.864407 1.605506 2.58901117649478E-0001
0.6091 1.641791 1.435251 2.06539782661759E-0001
0.6818 1.466667 1.082753 3.83913629681220E-0001
0.7545 1.325301 1.718826 3.93524865051317E-0001
0.8273 1.208791 0.981923 2.26868259438416E-0001
N=150 eps=0.1
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 5.815949 2.64748524559422E-0002
0.2455 4.074074 4.082792 8.71820127196792E-0003
0.3182 3.142857 3.023666 1.19190742334422E-0001
0.3909 2.558140 2.573782 1.56420480879075E-0002
0.4636 2.156863 2.128767 2.80954842936807E-0002
0.5364 1.864407 1.926558 6.21509276442687E-0002
0.6091 1.641791 1.576700 6.50908017219002E-0002
0.6818 1.466667 1.451521 1.51458506927486E-0002
0.7545 1.325301 1.251584 7.37167241280358E-0002
0.8273 1.208791 1.306614 9.78228004166109E-0002
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789474 5.239256 5.50217427695484E-0001
0.2455 4.074074 4.288745 2.14670797878710E-0001
0.3182 3.142857 3.455997 3.13139379490020E-0001
0.3909 2.558140 2.582270 2.41305119581360E-0002
0.4636 2.156863 2.213640 5.67775996234938E-0002
0.5364 1.864407 1.668727 1.95679713619928E-0001
0.6091 1.641791 1.854359 2.12567904030778E-0001
0.6818 1.466667 1.462314 4.35245924690773E-0003
0.7545 1.325301 1.550027 2.24725713113884E-0001
0.8273 1.208791 0.957565 2.51226099003509E-0001
Результаты после
внесения случайной погрешности (порядка
)
N=150 eps=0.1
Chebishev 2 roda
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789556 5.815996 2.64748349322378E-0002
0.2455 4.074158 4.082845 8.72065778547301E-0003
0.3182 3.142922 3.023722 1.19165993255711E-0001
0.3909 2.558176 2.573824 1.56832717166591E-0002
0.4636 2.156957 2.128825 2.80978050577820E-0002
0.5364 1.864472 1.926602 6.21645147917870E-0002
0.6091 1.641825 1.576733 6.51574772743081E-0002
0.6818 1.466673 1.451565 1.51859157401357E-0002
0.7545 1.325383 1.251644 7.37041839500811E-0002
0.8273 1.208844 1.306660 9.78414868388559E-0002
Lezhandr
uzli znach_funkcii summa pogreshnost
0.1727 5.789508 5.239305 5.50177466293901E-0001
0.2455 4.074131 4.288768 2.14662428565804E-0001
0.3182 3.142948 3.456052 3.13128878998356E-0001
0.3909 2.558187 2.582338 2.41763320374912E-0002
0.4636 2.156871 2.213688 5.67393723030018E-0002
0.5364 1.864477 1.668771 1.95684639495417E-0001
0.6091 1.641890 1.854405 2.12539936046722E-0001
0.6818 1.466678 1.462351 4.40186938562140E-0003
0.7545 1.325378 1.550088 2.24734780716611E-0001
0.8273 1.208853 0.957636 2.51191662767421E-0001
Вывод
В ходе выполнения
лабораторной работы мы исследовали
приближение функций посредством их
разложения в ряды по ортогональным
многочленам Фурье-Чебышева первого и
второго рода, а так же Фурье-Лежандра.
В среде Delphi
разработали программу реализующую
данные методы. Программа отлажена на
модельной задаче. Исследовали точность
и устойчивость разложений. Чем больше
слагаемых в сумме, тем выше точность.
При внесении погрешности порядка
в начальные данные, результат изменился
незначительно. Это говорит об устойчивости.
Оценили влияние особых точек. При
приближении к особой точке погрешность
увеличивается, чем дальше от особой
точки, тем погрешность меньше.