3. Определители

3.1. Определители 2-го и 3-го порядков

Каждое число считают, по определению, определителем (детерминантом) 1-го порядка.

Определение 1. Дана квадратная матрица 2-го порядка

А=.

Определителем 2-го порядка называется число, вычисленное из элементов этой матрицы по следующему правилу:

D = det(A) = = a₁b₂ – a₂ b₁.

Определение 2. Дана квадратная матрица 3-го порядка

A = .

Определителем 3-го порядка называется число, вычисленное из элементов этой матрицы по следующему правилу:

D = det(A) = = a₁ – a₂ + a₃.

Таким образом, определитель 3-го порядка вычисляется через определители 2-го порядка.

3.2. Определитель n-го порядка

Определение 3. Дана квадратная матрица n-го порядка

А = .

Определителем n-го порядка называется число, вычисленное из элементов этой матрицы по следующему правилу:

D = det(A) = =

= a₁₁D₁ – a₁₂ D₂ + a₁₃ D₃ – … + (–1)ⁿ⁺¹ a_1n D_n,

где D_i (i = 1, 2, … , n) – определитель (n–1)-го порядка, полученный из D вычеркиванием 1-й строки и i-го столбца.

Например, определитель 4-го порядка вычисляется через определители 3-го порядка

D = =

= a₁₁D₁ – a₁₂ D₂ + a₁₃ D₃ – a₁₄ D₄ =

= a₁₁ – a₁₂+ a₁₃– a₁₄.

Определитель 5-го порядка вычисляется через определители 4-го порядка, которые, в свою очередь, уже вычислены через определители 3-го порядка. И т.д. вплоть до определителя произвольного порядка.

3.3. Свойства и преобразования определителей

1. При транспонировании матрицы определитель не изменяется.

2. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

3. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

4. Если элементы какой-либо строки (столбца) матрицы представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующий определителей. Например,

.

5. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

.

6. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Если матрица А имеет треугольный вид

А = ,

то ее определитель равен

|А| = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ … a_nn.

Определение 4. Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Например, минором элемента матрицы А третьего порядка будет:

.

Каждая матрица n-го порядка имеет миноров (n–1)-го порядка.

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :

,

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

Например, ,

Для определителей третьего порядка знаки , с которыми миноры входят в алгебраические дополнения, таковы:

Теорема Лапласа (теорема о разложении определителя). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки; i =1, 2,…, n );

(разложение по элементам j-го столбца; j=1,2,…,n );

Наиболее эффективный способ вычисления определителя состоит в сочетании теоремы о разложении и свойств определителя: целесообразно так преобразовать исходную матрицу, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).