2.2. Экономико-статистические методы

Древо вероятностей.

Измерение риска на основе дисперсии базируется на показателях вероятности наступления события по каждому из рассматриваемых сценариев. Однако оценка события и вероятность его наступления со временем меняются, поскольку трансформируются и внутренние факторы, оказывающие влияние на деятельность компании. По прошествии нескольких этапов появляются промежуточные результаты. Это позволяет более точно оценивать вероятность наступления последующих событий. Как правило, результат, полученных на первом этапе, оказывает влияние на итоги всех последующих. Словом, существует определенная зависимость между результатами, полученными в разные периоды осуществления проекта.

Понятно, что результат первого периода неизбежно обусловливает ряд возможных вариантов развития событий в следующем периоде. Если же в ходе первого периода будет достигнут другой результат из-за развития событий по иному сценарию, то в дальнейшем появится другое множество вариантов. Для оценки временного фактора, когда меняется математическое ожидание и дисперсия вероятного распределения по мере перехода от одного этапа к другому, строится древо вероятностей (рис. 2).

Рис. 2. Древо вероятностей.

Где:

1, 2 — исходные вероятности, соответственно, лучшая и худшая;

1.1, 2.1 — условные лучшие вероятности;

1.2, 2.2 — условные худшие вероятности.

По оси ординат показывается результирующий показатель проекта, в качестве которого может выступать доходность, денежный поток и т.п. На рис. 8.1 в качестве результирующего показателя рассматривается денежный поток: чем он больше, тем эффективнее проект. На рисунке представлены денежные потоки в течение трех периодов.

По истечении первого периода могут быть достигнуты два результата: лучший — верхняя ветвь и худший — нижняя ветвь. Каждый из полученных результатов, в свою очередь, дает несколько последующих вариантов, так как при достижении лучшего варианта по итогам первого периода развитие будет осуществляться по одному сценарию, а в случае получения худшего результата — по другому. Аналогичная картина наблюдается при завершении второго периода и переходе к третьему периоду.

В рассматриваемом примере начало первого периода не зависит от событий, которые были прежде. Вероятные результаты получаются при завершении первого периода (первые две ветви). Их называют исходными вероятностями. Для всех последующих периодов результаты зависят от развития предыдущих событий. Поэтому вероятности, соответствующие в нашем примере второму и третьему периодам, называют условными. Следовательно, если изучить цепочку исходной и условных вероятностей в их единстве, то получим совместную вероятность развития событий.

Пример 1

Рассмотрим пример расчета чистых денежных потоков по проекту для двух периодов. Первоначальные вложения составили 20 млн руб. в период 0. В результате этих вложений возможны два варианта денежных потоков в 1-м периоде. С вероятностью 0,4 будет получен убыток в 10 млн руб. и с вероятностью 0,6 — положительный денежный поток, равный 15 млн руб.

Отрицательный поток на 1-м периоде в размере 10 млн руб. вызывает во 2-м периоде с вероятностью 0,3 денежный поток, равный 12 млн руб., и с вероятностью 0,7 — поток, равный 22 млн руб. Положительный поток в размере 15 млн р., в свою очередь, на втором этапе с вероятностью 0,4 вызывает денежный поток в сумме 30 млн руб. и с вероятностью 0,6 — денежный поток, равный 40 млн руб. Таким образом, исходная вероятность в размере 0,4 разделяется на совместные вероятности 0,12 и 0,28, а исходная вероятность 0,6 — на 0,24 и 0,36.

Таблица 3.

Расчет древа вероятностей

1-й период		2-й период		Совместная вероятность	№ ветви
Исходная вероятность	Чистый денежный поток, млн. руб.	Исходная вероятность	Чистый денежный поток, млн. руб.
0,4	-10	0,3 0,7	12 22	0,4 ∙ 0,3 = 0,12 0,4 ∙ 0,7 = 0,28	1,1 1,2
0,6	15	0,4 0,6	30 40	0,6 ∙ 0,4 = 0,24 0,6 ∙ 0,6 = 0,36	2,1 2,2

На основе построенного древа вероятностей можно рассчитать чистые текущие стоимости денежных потоков по каждой ветви, используя безрисковую ставку дисконтирования по формуле:

,

где NPV_i  — чистая текущая стоимость денежных потоков по ветви i;

C₀  — начальные инвестиции в период 0;

С — чистый денежный поток в соответствующий период;

1 ... n — число периодов;

r — безрисковая ставка дисконтирования.

В представленной формуле C₀ берется со знаком «-», что свидетельствует об оттоке средств с предприятия в виде произведенных инвестиций. Если в рассматриваемом примере безрисковую ставку принять на уровне 10%, то для первой ветви чистая текущая стоимость денежных потоков составит:

Для четвертой ветви денежные потоки представлены поступлениями в размере 15 млн руб. в 1-м периоде и 40 млн руб. во 2-м периоде. Чистая текущая стоимость этих денежных потоков рассчитывается по формуле:

На основе рассчитанных NPV денежных потоков и совместной вероятности для каждой ветви можно определить математическое ожидание чистой текущей стоимости:

,

где NPV — математическое ожидание (наиболее вероятный результат) чистой текущей стоимости денежных потоков по проекту;

NPV_i  — чистая текущая стоимость денежных потоков по i-й ветви;

p_i  — совместная вероятность для i-й ветви;

i = 1, ... х — число ветвей.

В таблице 4 представлен расчет чистых текущих стоимостей по каждой ветви и математическое ожидание.

Таблица 4

Расчет математического ожидания чистой текущей стоимости денежных потоков (цифры условные)

№ ветви	Денежные потоки, млн руб., С	Чистая текущая стоимость, млн руб., NPV	Совместная вероятность, p	Произведение, NPV ∙ p
1.1	-20 - 10 + 12	-19,17	0,12	-2,30
1.2	-20 - 1 0 + 22	-10,91	0,28	-3,05
2.1	-20 + 15 + 30	18,43	0,24	4,42
2.2	-20 + 15 + 40	26,70	0,36	9,64

Математическое ожидание, рассчитанное как средневзвешенная величина чистых текущих стоимостей по каждой ветви, где в качестве весов выступает совместная вероятность (сумма последнего столбца таблицы), в нашем примере составляет 8,71 млн руб. На основе математического ожидания можно рассчитать дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации для данного проекта.

Компания, обладая определенным запасом финансовых ресурсов, планирует их распределение для осуществления ряда инвестиционных проектов, в результате чего формируется инвестиционный портфель. При управлении портфелем появляется присущий ему комбинированный (совокупный) риск. Методы измерения и оценки риска портфеля несколько отличаются от оценки риска конкретного инвестиционного проекта. Портфельная теория была разработана У. Шарпом и получила широкое применение в практике управления инвестициями.

Наиболее распространенной сферой использования портфельной теории являются инвестиции в ценные бумаги. У. Шарп выделил две составляющие риска любого актива:

1) систематический (рыночный);

2) несистематический (специфический).

Систематический (рыночный) риск обусловлен общеэкономическими факторами. Он присущ рынку в целом и возникает по не зависящим от компании причинам. Данный риск не поддается диверсификации, поэтому его называют недиверсифицируемы.

Несистематический (специфический) риск обусловлен специфическими особенностями эмитента, которые можно нейтрализовать путем включения в портфель ценных бумаг различных эмитентов. Поэтому данный вид риска называют диверсифицируемым.

Общий рис включает в себя рыночный и специфический риски. Если специфического риска можно избежать, сформировав хорошо диверсифицируемый портфель, то рыночный риск присутствует всегда.

C увеличением числа активов в портфеле уменьшается специфический риск. Подавляющая часть несистематического риска устраняется при включении в портфель 15—20 видов ценных бумаг. Ценные бумаги различных эмитентов по-разному реагируют на изменение общеэкономической ситуации. Одни акции более устойчивы к колебаниям рынка, другие — менее. Те ценные бумаги, которые изменяются в большей степени, чем меняется рынок, обладают повышенной чувствительностью. В связи с этим систематический риск конкретной ценной бумаги отличается от систематического риска для рынка в целом.

Мерой систематического риска является коэффициент β (β-фактор), который показывает уровень изменчивости актива по отношению к рынку (усредненному активу). В качестве рыночного портфеля берутся фондовые индексы, включающие в себя акции наиболее крупных компаний. В США, например, такими индексами являются индекс S & P-500, индексы Доу—Джонса, индекс Нью-Йоркской фондовой биржи; в Великобритании — семейство индексов FT; в Японии — индексы NIKKEI; в Германии — индексы DAX; в России — индекс РТС (Российской торговой системы) и сводный индекс ММВБ (Московской межбанковской валютной биржи).

Коэффициент β рассчитывается по формуле:

,

где β_i  — коэффициент i-го актива (портфеля);

δ_i  — стандартное отклонение доходности i-го актива (портфеля);

δ_m  — стандартное отклонение доходности по рынку в целом;

Corr_im  — корреляция доходности i-го актива (портфеля) с доходностью рыночного портфеля.

Коэффициент корреляции вводится в формулу, чтобы учесть тесноту связи между активом и рынком (другим активом). Финансовый актив может иметь высокое значение δ, но это еще не означает, что данный актив намного рискованнее рыночного портфеля. Если отклонения актива и рыночного портфеля не синхронизированы во времени, то эти отклонения могут взаимно гасить друг друга, уменьшая риск. Если δ актива и δ портфеля изменяются синхронно, то большее значение стандартного отклонения свидетельствует о большей степени риска.

Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов используют два показателя: коэффициент ковариации (COV_AB ) и коэффициент корреляции (Corr_AB ).

Коэффициент ковариации доходностей двух активов А и В рассчитывается по формуле:

,

где Corr_AB  — ковариация доходностей А и В;

Д_A , Д_B  — средние доходности активов А и В за n периодов;

Д_{i A} , Д_{i B}  — доходность активов A и В в i-м периоде;

n — число периодов наблюдений.

Ковариация может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Положительное значение свидетельствует, что доходности активов изменяются в одном направлении. Отрицательное значение говорит о том, что доходности активов изменяются в противоположных направлениях. Если ковариация равна 0, то это означает, что взаимосвязь между доходностями активов отсутствует.

Другим показателем степени взаимосвязи двух активов является коэффициент корреляции:

,

где COV_AB  — ковариация доходностей активов А и В;

δ_A  — стандартное отклонение доходности актива А;

δ_B  — стандартное отклонение доходности актива В.

Коэффициент корреляции изменяется в интервале от +1 до -1. Если Corr_AB = 1, то это означает, что доходности изменяются абсолютно одинаково, между ними существует полная корреляция, т.е. доходности активов А и В имеют прямую функциональную зависимость (рис. 3)

Рис.3.

Если коэффициент корреляции находится в интервале от 0 до +1, то это свидетельствует, что доходности активов изменяются в одном направлении при изменении рыночной ситуации. Пример положительной корреляции представлен на рис. 4

Рис.4.

Когда коэффициент корреляции равен -1, то доходности двух активов изменяются в противоположном направлении. Если доходность по активу А растет, то доходность по активу В падает, и наоборот.

Если корреляция отрицательная (от 0 до -1), то это свидетельствует о том, что при изменении ситуации на рынке доходности активов А и В изменяются в противоположном направлении.